Calcular a quantidade de calor que se tem de fornecer a 500 g de \mathrm{O}_{2} para passar a temperatura ambiente de 298 K para 500 K , a pressão constante, sabendo que:
\mathrm{C}_{\mathrm{pm}}\left(\mathrm{O}_{2}, \mathrm{~g}\right)=7,16+1 \times 10^{-3} \mathrm{~T}-0,40 \times 10^{5} / \mathrm{T}^{2} \mathrm{JK}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
  • Massa do gás: m=500\\ \mathrm{g}.
  • Substância: \mathrm{O}_2 (gás).
  • Temperatura inicial: T_1=298\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final: T_2=500\\ \mathrm{K}.
  • Processo: pressão constante.
  • Capacidade térmica molar à pressão constante dada por (peguei esta expressão do enunciado):
C_{pm}(T)=7{,}16+1\times10^{-3}T-0{,}40\times10^{5}T^{-2}\quad\text{(J K}^{-1}\text{ mol}^{-1}).
O que o problema pede: calcular a quantidade de calor q que deve ser fornecida para aquecer 500\\ \mathrm{g} de \mathrm{O}_2 de 298\\ \mathrm{K} para 500\\ \mathrm{K} a pressão constante.

Passo 2

Qual a relação que usamos no processo a pressão constante?
  • Em processo a pressão constante, o calor trocado por um gás ideal é dado por
q = n\int_{T_1}^{T_2} C_{pm}(T)\,dT,
onde:
  • q é o calor trocado (J),
  • n é o número de mols do gás (mol),
  • C_{pm}(T) é a capacidade térmica molar à pressão constante (J K^{-1} mol^{-1}),
  • a integral é feita de T_1 até T_2.
    Vou então calcular n e avaliar essa integral usando a C_{pm}(T) fornecida.

Passo 3

Calcular o número de mols n.
  • Massa molar aproximada do \mathrm{O}_2: M=32{,}00\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} (dos dados de tabela periódica).
  • Assim
n=\frac{m}{M}=\frac{500\\ \mathrm{g}}{32{,}00\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}=15{,}625\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Preparar a integral com a expressão de C_{pm}(T) (peguei a expressão do enunciado):
q = n\int_{T_1}^{T_2}\bigg(7{,}16+1\times10^{-3}T-0{,}40\times10^{5}T^{-2}\bigg)\,dT.
Vou integrar termo a termo. É mais fácil escrever a integral como soma de três integrais:
\int_{T_1}^{T_2}7{,}16\,dT,\qquad \int_{T_1}^{T_2}1\times10^{-3}T\,dT,\qquad \int_{T_1}^{T_2}-0{,}40\times10^{5}T^{-2}\,dT.

Passo 5

Calcular as antiderivadas (aquela “fórmula de integrar”) termo a termo e explicar:
  • Antiderivada de uma constante a é aT.
  • Antiderivada de bT é b\,T^2/2.
  • Antiderivada de T^{-2} é -T^{-1}.
    Aplicando isso:
\int 7{,}16\,dT = 7{,}16\,T,
\int 1\times10^{-3}T\,dT = \frac{1\times10^{-3}}{2}\,T^2,
\int -0{,}40\times10^{5}T^{-2}\,dT = -0{,}40\times10^{5}\cdot(-T^{-1}) = 0{,}40\times10^{5}\cdot\frac{1}{T}.
Portanto a integral definida dá:
\int_{T_1}^{T_2}C_{pm}(T)\,dT =7{,}16(T_2-T_1)+\frac{1\times10^{-3}}{2}(T_2^2-T_1^2) +0{,}40\times10^{5}\!\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).

Passo 6

Substituir T_1=298\\ \mathrm{K} e T_2=500\\ \mathrm{K} e calcular cada termo (vou mostrar as contas detalhadas para ser fácil de reproducir na prova).
  1. Primeiro termo:
7{,}16(T_2-T_1)=7{,}16(500-298)=7{,}16\cdot202=1446{,}32\\ \text{J mol}^{-1}.
  1. Segundo termo:
\frac{1\times10^{-3}}{2}(T_2^2-T_1^2)=0{,}0005\left(500^2-298^2\right).
Calcular 500^2=250000 e 298^2=88804, diferença 161196. Então
0{,}0005\cdot161196=80{,}598\\ \text{J mol}^{-1}.
  1. Terceiro termo: aqui 0{,}40\times10^{5}=40000.
40000\left(\frac{1}{500}-\frac{1}{298}\right)=40000\left(0{,}002-0{,}0033557047\ldots\right).
A diferença é -0{,}0013557047\ldots, multiplicando:
40000\times(-0{,}0013557047\ldots)=-54{,}228\\ \text{J mol}^{-1}\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Somar os três contributions para obter a variação de entalpia (por mol) entre T_1 e T_2:
\Delta h = 1446{,}32+80{,}598-54{,}228=1472{,}690\\ \text{J mol}^{-1}\\ (\text{aprox.}).

Passo 8

Multiplicar pelo número de mols n=15{,}625\\ \mathrm{mol} para obter o calor total:
q = n\,\Delta h =15{,}625\times1472{,}690\\ \mathrm{J}.
Fazendo a conta:
q\approx23010{,}8\\ \mathrm{J}.
Em unidades mais convenientes,
q\approx23{,}0\\ \mathrm{kJ}.
O sinal positivo indica que esse calor deve ser fornecido (aquecimento).

Resposta

q=2,30\times10^{4}\\ \mathrm{J}\approx23{,}0\\ \mathrm{kJ}

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