Dois moles de um gás sofrem uma expansão isotérmica reversível a 300 K de 1 \mathrm{dm}^{3} para 10 \mathrm{dm}^{3}. Calcule o trabalho efetuado considerando:
(a) o gás como perfeito

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Número de mols: n=2.
    • Temperatura constante: T=300\\ \mathrm{K}.
    • Volume inicial: V_i=1\\ \mathrm{dm}^3.
    • Volume final: V_f=10\\ \mathrm{dm}^3.
  • O enunciado pede:
    • (a) calcular o trabalho efetuado durante a expansão isotérmica reversível, considerando o gás como perfeito.
  • Observações importantes que vou usar:
    • Converter volumes para unidades do SI ao usar R em \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Lembrete: 1\\ \mathrm{dm}^3=1\\ \mathrm{L}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
    • Para um processo isotérmico reversível de gás ideal, o trabalho realizado pelo gás é dado pela fórmula que vou deduzir a seguir.

Passo 2

Conversão das unidades de volume para o SI.
  • Volume inicial: V_i=1\\ \mathrm{dm}^3=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
  • Volume final: V_f=10\\ \mathrm{dm}^3=10\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3=1\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^3.
  • Observação útil: a razão \dfrac{V_f}{V_i}=\dfrac{10\\ \mathrm{dm}^3}{1\\ \mathrm{dm}^3}=10. Essa razão é adimensional e simplifica os cálculos.

Passo 3

Explicação física e matemática do trabalho em um processo reversível.
  • Em termodinâmica, o trabalho elemental realizado pelo gás quando seu volume varia é \delta W = P\,\mathrm{d}V,onde P é a pressão instantânea do gás e \mathrm{d}V a variação infinitesimal do volume.
  • Para o processo reversível, a pressão do gás em cada instante é a pressão do reservatório que o acompanha; usando a equação do gás ideal, P=\frac{nRT}{V},onde:
    • n é o número de mols,
    • R é a constante universal dos gases ( R\approx 8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
    • T é a temperatura absoluta (constante aqui),
    • V é o volume do gás naquele instante.
  • Substituindo P em \delta W obtemos a expressão a integrar: \delta W = \frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V.

Passo 4

Integração para obter o trabalho total e interpretação da fórmula.
  • Integrando de V_i até V_f: W=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V=nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,\mathrm{d}V.
  • A integral \int_{V_i}^{V_f}\dfrac{1}{V}\,\mathrm{d}V=\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right). Logo: W=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Interpretação das variáveis na fórmula:
    • W é o trabalho total realizado pelo gás (unidade SI: joule).
    • Se V_f>V_i (expansão), \ln(V_f/V_i)>0 e W>0: o gás realiza trabalho sobre o entorno.
    • Se preferir a convenção trabalho pelo gás positivo, usamos exatamente essa expressão.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao caso numérico: escolher valor de R e montar a expressão.
  • Vamos usar R=8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Substituindo n=2, T=300\\ \mathrm{K} e \dfrac{V_f}{V_i}=10 na fórmula: W = 2\cdot 8,314\cdot 300\cdot \ln(10).

Passo 6

Cálculo passo a passo de nRT e de \ln(10).
  • Calcular nRT: nRT = 2\cdot 8,314\cdot 300 = 2\cdot 2494,2 = 4988,4\\ \mathrm{J}.(apresentei os passos: 8,314\times300=2494,2; multiplicando por 2 obtém-se 4988,4\\ \mathrm{J}.)
  • Valor do logaritmo natural: \ln(10)\approx 2,302585093.

Passo 7

Multiplicação final e arredondamento.
  • Multiplicando: W \approx 4988,4\times 2,302585093 \approx 11486,9\\ \mathrm{J}.
  • Em quilojoules: W\approx 11,49\\ \mathrm{kJ}.
  • Interpretação: esse valor é o trabalho efetuado pelo gás durante a expansão isotérmica reversível de 1\\ \mathrm{dm}^3 para 10\\ \mathrm{dm}^3 a 300\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Comentário didático-final e verificação rápida de ordem de grandeza.
  • Verificação rápida: nRT está da ordem de 5{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{J} e \ln(10) é aproximadamente 2{,}3, portanto o produto deve ficar da ordem de 1{,}15\times10^{4}\\ \mathrm{J}, consistente com o cálculo detalhado.
  • Lembrete prático para prova: sempre converta volumes para \mathrm{m}^3 se for usar R em \mathrm{J/(mol\cdot K)}, mas a razão V_f/V_i é adimensional e às vezes permite simplificar sem converter quando apenas essa razão aparece (como aqui, V_f/V_i=10 foi direto).

Resposta

W\approx 1,1487\times10^{4}\\ \mathrm{J}\approx 11,49\\ \mathrm{kJ}

Exercícios relacionados