Dois moles de um gás sofrem uma expansão isotérmica reversível a 300 K de
para
. Calcule o trabalho efetuado considerando:
(a) o gás como perfeito
(a) o gás como perfeito
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Número de mols:
. - Temperatura constante:
. - Volume inicial:
. - Volume final:
.
- Número de mols:
-
O enunciado pede:
- (a) calcular o trabalho efetuado durante a expansão isotérmica reversível, considerando o gás como perfeito.
-
Observações importantes que vou usar:
- Converter volumes para unidades do SI ao usar
em . Lembrete: . - Para um processo isotérmico reversível de gás ideal, o trabalho realizado pelo gás é dado pela fórmula que vou deduzir a seguir.
- Converter volumes para unidades do SI ao usar
Passo 2
Conversão das unidades de volume para o SI.
- Volume inicial:
- Volume final:
- Observação útil: a razão
. Essa razão é adimensional e simplifica os cálculos.
Passo 3
Explicação física e matemática do trabalho em um processo reversível.
- Em termodinâmica, o trabalho elemental realizado pelo gás quando seu volume varia é
onde é a pressão instantânea do gás e a variação infinitesimal do volume. - Para o processo reversível, a pressão do gás em cada instante é a pressão do reservatório que o acompanha; usando a equação do gás ideal,
onde: -
é o número de mols, -
é a constante universal dos gases ( ), -
é a temperatura absoluta (constante aqui), -
é o volume do gás naquele instante.
-
- Substituindo
em obtemos a expressão a integrar:
Passo 4
Integração para obter o trabalho total e interpretação da fórmula.
- Integrando de
até : - A integral
. Logo: - Interpretação das variáveis na fórmula:
-
é o trabalho total realizado pelo gás (unidade SI: joule). - Se
(expansão), e : o gás realiza trabalho sobre o entorno. - Se preferir a convenção trabalho pelo gás positivo, usamos exatamente essa expressão.
-
Passo 5
Aplicando a fórmula ao caso numérico: escolher valor de
e montar a expressão.
- Vamos usar
. - Substituindo
, e na fórmula:
Passo 6
Cálculo passo a passo de
e de
.
- Calcular
: (apresentei os passos: ; multiplicando por 2 obtém-se .) - Valor do logaritmo natural:
Passo 7
Multiplicação final e arredondamento.
- Multiplicando:
- Em quilojoules:
- Interpretação: esse valor é o trabalho efetuado pelo gás durante a expansão isotérmica reversível de
para a .
Passo 8
Comentário didático-final e verificação rápida de ordem de grandeza.
- Verificação rápida:
está da ordem de e é aproximadamente , portanto o produto deve ficar da ordem de , consistente com o cálculo detalhado. - Lembrete prático para prova: sempre converta volumes para
se for usar em , mas a razão é adimensional e às vezes permite simplificar sem converter quando apenas essa razão aparece (como aqui, foi direto).