Dois moles de um gás sofrem uma expansão isotérmica reversível a 300 K de
para
. Calcule o trabalho efetuado considerando:
(b) o gás obedece à equação de van der Waals, com
(b) o gás obedece à equação de van der Waals, com
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o trabalho efetuado (expansão isotérmica reversível) quando o gás obedece à equação de van der Waals:
- número de mols:
. - temperatura:
. - volume inicial:
. - volume final:
. - parâmetros de van der Waals:
e .
A tarefa: calcular o trabalho realizado pela expansão (processo isotérmico reversível) usando a equação de van der Waals.
Passo 2
Esclarecendo fórmulas e convenções de sinais (para evitar confusão):
- Para um processo reversível, a pressão externa é igual à pressão do gás e o trabalho realizado pelo gás quando o volume varia de
para é
ou seja, adotamos a convenção em que trabalho positivo significa trabalho efetuado pelo gás sobre o entorno.
- A equação de van der Waals para
mols é
Aqui:
-
é a pressão do gás (em atm), -
é a constante dos gases ideais (usaremos ), -
é a temperatura em kelvin, -
é o volume do sistema em , -
e são os parâmetros dados. - Portanto formulamos o trabalho como
Passo 3
Realizando a integração analítica (explicar cada termo):
- O integrando é soma de dois termos; integramos separadamente.
- Primeiro termo:
. - Trata-se de uma integral do tipo
. Aqui e . - Logo a primitiva é
.
- Trata-se de uma integral do tipo
- Segundo termo:
aparece com sinal negativo no integrando, ou seja integrando . - Sabendo
, temos .
- Sabendo
- Juntando e avaliando entre os limites
e ,
- Portanto, escrevendo explicitamente,
Essa é a expressão final analítica do trabalho para expansão isotérmica reversível de um gás van der Waals.
Passo 4
Substituindo os valores numéricos passo a passo:
- Primeiro calcule
:
- Calcule os termos
e :
- Calcule
:
- Calcule o primeiro termo
:
- Calcule o segundo termo
:
- Somando os dois termos:
(Arredondando razoavelmente,
.)
Passo 5
Converter para joules (para ter unidade do SI):
- Conversão:
. - Logo
Arredondando para três algarismos significativos,
Observação final e incentivo: o termo adicional vindo de
reduz um pouco o trabalho em relação ao caso ideal; isso é esperado pois a atração intermolecular (parâmetro
) torna a expansão ligeiramente menos “vantajosa” energeticamente. Você mandou bem em trazer só a parte (b); essa integral é padrão e, na prova, basta lembrar da forma
e integrar termo a termo — nada de pânico!