Dois moles de um gás sofrem uma expansão isotérmica reversível a 300 K de 1 \mathrm{dm}^{3} para 10 \mathrm{dm}^{3}. Calcule o trabalho efetuado considerando:
(b) o gás obedece à equação de van der Waals, com \mathrm{a}=1,36 \mathrm{atm} \mathrm{dm}^{6} \mathrm{~mol}^{-2} \mathrm{e} \mathrm{b}=3,183 \times 10^{-2} \mathrm{dm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o trabalho efetuado (expansão isotérmica reversível) quando o gás obedece à equação de van der Waals:
  • número de mols: n=2.
  • temperatura: T=300\\ \text{K}.
  • volume inicial: V_i=1\\ \text{dm}^3.
  • volume final: V_f=10\\ \text{dm}^3.
  • parâmetros de van der Waals: a=1,36\\ \text{atm}\,\text{dm}^6\text{mol}^{-2} e b=3,183\times10^{-2}\\ \text{dm}^3\text{mol}^{-1}.
    A tarefa: calcular o trabalho realizado pela expansão (processo isotérmico reversível) usando a equação de van der Waals.

Passo 2

Esclarecendo fórmulas e convenções de sinais (para evitar confusão):
  • Para um processo reversível, a pressão externa é igual à pressão do gás e o trabalho realizado pelo gás quando o volume varia de V_i para V_f é
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV,
ou seja, adotamos a convenção em que trabalho positivo significa trabalho efetuado pelo gás sobre o entorno.
  • A equação de van der Waals para n mols é
P=\frac{nRT}{V-nb}-\frac{a n^{2}}{V^{2}}.
Aqui:
  • P é a pressão do gás (em atm),
  • R é a constante dos gases ideais (usaremos R=0,082057\\ \text{atm}\,\text{dm}^3\text{mol}^{-1}\text{K}^{-1}),
  • T é a temperatura em kelvin,
  • V é o volume do sistema em \text{dm}^3,
  • a e b são os parâmetros dados.
  • Portanto formulamos o trabalho como
W=\int_{V_i}^{V_f}\left(\frac{nRT}{V-nb}-\frac{a n^{2}}{V^{2}}\right)dV.

Passo 3

Realizando a integração analítica (explicar cada termo):
  • O integrando é soma de dois termos; integramos separadamente.
  • Primeiro termo: \displaystyle \int \frac{nRT}{V-nb}\,dV.
    • Trata-se de uma integral do tipo \int \frac{C}{V-\alpha}\,dV=C\ln|V-\alpha|. Aqui C=nRT e \alpha=nb.
    • Logo a primitiva é \;nRT\ln(V-nb).
  • Segundo termo: \displaystyle \int \frac{a n^{2}}{V^{2}}\,dV aparece com sinal negativo no integrando, ou seja integrando -a n^{2} V^{-2}.
    • Sabendo \int V^{-2}dV=-1/V, temos \displaystyle \int -a n^{2}V^{-2}dV = -a n^{2}(-1/V)=\frac{a n^{2}}{V}.
  • Juntando e avaliando entre os limites V_i e V_f,
W = \left[nRT\ln(V-nb)+\frac{a n^{2}}{V}\right]_{V_i}^{V_f}.
  • Portanto, escrevendo explicitamente,
W = nRT\ln\!\left(\frac{V_f-nb}{V_i-nb}\right) + a n^{2}\!\left(\frac{1}{V_f}-\frac{1}{V_i}\right).
Essa é a expressão final analítica do trabalho para expansão isotérmica reversível de um gás van der Waals.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos passo a passo:
  • Primeiro calcule nb:
nb = n\cdot b = 2\cdot 3{,}183\times10^{-2}=0{,}06366\\ \text{dm}^3.
  • Calcule os termos V_i-nb e V_f-nb:
V_i-nb = 1 - 0{,}06366 = 0{,}93634\\ \text{dm}^3, \qquad V_f-nb = 10 - 0{,}06366 = 9{,}93634\\ \text{dm}^3.
  • Calcule nRT:
nRT = 2\cdot 0{,}082057\cdot 300 = 49{,}2342\\ \text{atm}\,\text{dm}^3.
  • Calcule o primeiro termo nRT\ln\!\big(\dfrac{V_f-nb}{V_i-nb}\big):
\frac{V_f-nb}{V_i-nb}=\frac{9{,}93634}{0{,}93634}\approx 10{,}6127,
\ln\!\left(\frac{V_f-nb}{V_i-nb}\right)\approx \ln(10{,}6127)\approx 2{,}3619,
\text{primeiro termo}=49{,}2342\times 2{,}3619\approx 116{,}28\\ \text{atm}\,\text{dm}^3.
  • Calcule o segundo termo a n^{2}\!\left(\dfrac{1}{V_f}-\dfrac{1}{V_i}\right):
a n^{2}=1{,}36\times(2)^{2}=1{,}36\times4=5{,}44\\ \text{atm}\,\text{dm}^6,
\frac{1}{V_f}-\frac{1}{V_i}=\frac{1}{10}-\frac{1}{1}=0{,}1-1=-0{,}9\\ \text{dm}^{-3},
\text{segundo termo}=5{,}44\times(-0{,}9)=-4{,}896\\ \text{atm}\,\text{dm}^3.
  • Somando os dois termos:
W \approx 116{,}28 + (-4{,}896) = 111{,}384\\ \text{atm}\,\text{dm}^3.
(Arredondando razoavelmente, W\approx 111{,}4\\ \text{atm}\,\text{dm}^3.)

Passo 5

Converter para joules (para ter unidade do SI):
  • Conversão: 1\\ \text{atm}\,\text{dm}^3 = 1\\ \text{atm}\cdot1\\ \text{L} = 101{,}325\\ \text{J}.
  • Logo
W \approx 111{,}384 \times 101{,}325 \approx 1{,}1286\times10^{4}\\ \text{J}.
Arredondando para três algarismos significativos,
W \approx 1{,}13\times10^{4}\\ \text{J}\\ (=11{,}3\\ \text{kJ}).
Observação final e incentivo: o termo adicional vindo de a reduz um pouco o trabalho em relação ao caso ideal; isso é esperado pois a atração intermolecular (parâmetro a) torna a expansão ligeiramente menos “vantajosa” energeticamente. Você mandou bem em trazer só a parte (b); essa integral é padrão e, na prova, basta lembrar da forma P=\dfrac{nRT}{V-nb}-\dfrac{a n^{2}}{V^{2}} e integrar termo a termo — nada de pânico!

Resposta

W \approx 111{,}4\\ \text{atm}\,\text{dm}^3 = 1{,}13\times10^{4}\\ \text{J}

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