Calcular a sabendo-se coplanares os vetores a seguir. \vec{u}=(1,3,0) ; \vec{v}=(2,1,4) ; \vec{w}=(3,4, a)
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede o valor de a para que eles sejam coplanares. Dados fornecidos:
\vec{u}=(1,3,0)
\vec{v}=(2,1,4)
\vec{w}=(3,4,a)
O que se pede: encontrar o número a tal que \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} sejam coplanares.
Passo 2
O que significa “coplanares” e qual método vou usar (explicação didática e escolha do método).
Geometricamente, três vetores são coplanares se todos pertencem a um mesmo plano que passa pela origem; isso ocorre exatamente quando eles são linearmente dependentes, ou seja, quando um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
Uma forma prática e muito usada para verificar coplanaridade é calcular o produto misto (produto escalar do produto vetorial) (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}. Esse número é igual ao determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Se esse determinante for zero, o volume do paralelepípedo formado por eles é zero e, portanto, eles são coplanares.
Escolhi esse método porque é direto, padrão para exercícios de vetores e envolve operações algébricas elementares (determinante de 3\times3), fáceis de fazer à mão na prova.
Lembrete rápido sobre a fórmula do determinante 3\times3: para
Verificação e interpretação (didática extra para saber “como reconhecer na prova”).
Substituindo a=4\) obtemos \(\vec{w}=(3,4,4)\).
- Podemos checar que \(\vec{w}\) é combinação linear de \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\). Procura-se \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha(1,3,0)+\beta(2,1,4)=(3,4,4).
Da terceira equação segue \beta=1\]. Substituindo em \(\alpha+2\cdot1=3 obtemos \alpha=1. Checando a segunda: 3\cdot1+1=4, consistente. Logo \vec{w}=\vec{u}+\vec{v} quando a=4, mostrando explicitamente que os três vetores são linearmente dependentes e, portanto, coplanares.
Essa verificação é útil na prova: além do determinante, reconhecer que um vetor é soma dos outros é uma forma rápida de concluir coplanaridade.]