Calcular a sabendo-se coplanares os vetores a seguir.
\vec{u}=(1,3,0) ; \vec{v}=(2,1,4) ; \vec{w}=(3,4, a)

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede o valor de a para que eles sejam coplanares. Dados fornecidos:
  • \vec{u}=(1,3,0)
  • \vec{v}=(2,1,4)
  • \vec{w}=(3,4,a)
O que se pede: encontrar o número a tal que \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} sejam coplanares.

Passo 2

O que significa “coplanares” e qual método vou usar (explicação didática e escolha do método).
  • Geometricamente, três vetores são coplanares se todos pertencem a um mesmo plano que passa pela origem; isso ocorre exatamente quando eles são linearmente dependentes, ou seja, quando um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
  • Uma forma prática e muito usada para verificar coplanaridade é calcular o produto misto (produto escalar do produto vetorial) (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}. Esse número é igual ao determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Se esse determinante for zero, o volume do paralelepípedo formado por eles é zero e, portanto, eles são coplanares.
  • Escolhi esse método porque é direto, padrão para exercícios de vetores e envolve operações algébricas elementares (determinante de 3\times3), fáceis de fazer à mão na prova.
Lembrete rápido sobre a fórmula do determinante 3\times3: para
\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\\ b_1 & b_2 & b_3\\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix},
o determinante é
a_1(b_2c_3-b_3c_2)-a_2(b_1c_3-b_3c_1)+a_3(b_1c_2-b_2c_1).
Aqui cada símbolo é:
  • a_i, b_i, c_i: componentes dos vetores (números reais).
  • O determinante dá o produto misto (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}.

Passo 3

Escrever a condição de coplanaridade via determinante e montar a equação.
Usando as linhas com as componentes de \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}:
\det\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 4\\[4pt] 3 & 4 & a \end{pmatrix}=0.]

Passo 4

Calcular o determinante passo a passo (expandindo pela primeira linha, por exemplo).
Expansão pela primeira linha:
1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]4 & a\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]3 & a\end{pmatrix} +0\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}=0.
Agora calcule cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]4 & a\end{pmatrix}=1\cdot a-4\cdot4=a-16,
\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]3 & a\end{pmatrix}=2\cdot a-4\cdot3=2a-12,
e o terceiro termo multiplica 0, então é 0.
Substituindo:
(a-16)-3(2a-12)+0=0.
Desenvolvendo:
a-16-6a+36=0.
Agrupando termos semelhantes:
-5a+20=0.
Isolando a:
-5a=-20\quad\Rightarrow\quad a=4.]

Passo 5

Verificação e interpretação (didática extra para saber “como reconhecer na prova”).
  • Substituindo a=4\) obtemos \(\vec{w}=(3,4,4)\). - Podemos checar que \(\vec{w}\) é combinação linear de \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\). Procura-se \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha(1,3,0)+\beta(2,1,4)=(3,4,4).
Das componentes:
\begin{cases} \alpha+2\beta=3,\\[4pt] 3\alpha+\beta=4,\\[4pt] 0\cdot\alpha+4\beta=4. \end{cases}
Da terceira equação segue \beta=1\]. Substituindo em \(\alpha+2\cdot1=3 obtemos \alpha=1. Checando a segunda: 3\cdot1+1=4, consistente. Logo \vec{w}=\vec{u}+\vec{v} quando a=4, mostrando explicitamente que os três vetores são linearmente dependentes e, portanto, coplanares.
  • Essa verificação é útil na prova: além do determinante, reconhecer que um vetor é soma dos outros é uma forma rápida de concluir coplanaridade.]

Resposta

4

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