Construa a tabela verdade de cada uma das sentenças
((P \rightarrow Q) \rightarrow(P \vee(Q \wedge R))) \rightarrow(P \wedge(P \vee R)));

Passo 1

O enunciado pede que se construa a tabela verdade da sentença
\bigl((P \rightarrow Q) \rightarrow (P \vee (Q \wedge R))\bigr) \rightarrow \bigl(P \wedge (P \vee R)\bigr).
Informações dadas:
  • As variáveis proposicionais são P, Q e R.
  • A tarefa é calcular o valor de verdade da fórmula acima para todas as combinações possíveis de valores de P,Q,R (são 2^3=8 combinações).

Passo 2

Vou revisar como calcular os conectivos que aparecem (isso é importante para fazer a tabela passo a passo).
  • Conjunção \wedge: A\wedge B é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é verdadeira; caso contrário é falsa.
    • \text{V}\wedge\text{V}=\text{V}
    • \text{V}\wedge\text{F}=\text{F}
    • \text{F}\wedge\text{V}=\text{F}
    • \text{F}\wedge\text{F}=\text{F}
  • Disjunção \vee: A\vee B é falsa somente quando A e B são falsas; caso contrário é verdadeira.
    • \text{F}\vee\text{F}=\text{F}
    • Qualquer outra combinação dá \text{V}.
  • Implicação \rightarrow: A\rightarrow B é falsa só no caso A=\text{V} e B=\text{F}; nos demais casos é verdadeira.
    • \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}
    • \text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}
    • \text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}
    • \text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}
Observação prática: ao avaliar uma implicação, primeiro olhar o antecedente; se ele for falso a implicação inteira é verdadeira; se for verdadeiro, então o valor da implicação é o valor do consequente.

Passo 3

Vou decompor a fórmula em subfórmulas mais simples e dar nomes para facilitar as contas:
\begin{aligned} A &:= P \rightarrow Q,\\\ B &:= Q \wedge R,\\\ C &:= P \vee B\quad\bigl(\text{ou seja }P\vee(Q\wedge R)\bigr),\\\ D &:= A \rightarrow C\quad\bigl(\text{ou seja }(P\rightarrow Q)\rightarrow(P\vee(Q\wedge R))\bigr),\\\ E &:= P \vee R,\\\ F &:= P \wedge E\quad\bigl(\text{ou seja }P\wedge(P\vee R)\bigr),\\\ \Phi &:= D \rightarrow F\quad\bigl(\text{a fórmula inteira}\bigr). \end{aligned}ó
Plano: para cada valoração de P,Q,R calculo, em ordem, A,B,C,D,E,F e por fim \Phi.

Passo 4

Vou percorrer as 8 valorações na ordem habitual: P,Q,R = \text{F},\text{F},\text{F}; \text{F},\text{F},\text{V}; \text{F},\text{V},\text{F}; \text{F},\text{V},\text{V}; \text{V},\text{F},\text{F}; \text{V},\text{F},\text{V}; \text{V},\text{V},\text{F}; \text{V},\text{V},\text{V}.
Para cada linha aplico as regras do Passo 2.

Passo 5

Valoração 1: P=\text{F}, Q=\text{F}, R=\text{F}.
\begin{aligned} A&=P\rightarrow Q=\text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V},\\\ B&=Q\wedge R=\text{F}\wedge\text{F}=\text{F},\\\ C&=P\vee B=\text{F}\vee\text{F}=\text{F},\\\ D&=A\rightarrow C=\text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F},\\\ E&=P\vee R=\text{F}\vee\text{F}=\text{F},\\\ F&=P\wedge E=\text{F}\wedge\text{F}=\text{F},\\\ \Phi&=D\rightarrow F=\text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}. \end{aligned}

Passo 6

Valoração 2: P=\text{F}, Q=\text{F}, R=\text{V}.
\begin{aligned} A&=\text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V},\\\ B&=\text{F}\wedge\text{V}=\text{F},\\\ C&=\text{F}\vee\text{F}=\text{F},\\\ D&=\text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F},\\\ E&=\text{F}\vee\text{V}=\text{V},\\\ F&=\text{F}\wedge\text{V}=\text{F},\\\ \Phi&=\text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}. \end{aligned}

Passo 7

Valoração 3: P=\text{F}, Q=\text{V}, R=\text{F}.
\begin{aligned} A&=\text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V},\\\ B&=\text{V}\wedge\text{F}=\text{F},\\\ C&=\text{F}\vee\text{F}=\text{F},\\\ D&=\text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F},\\\ E&=\text{F}\vee\text{F}=\text{F},\\\ F&=\text{F}\wedge\text{F}=\text{F},\\\ \Phi&=\text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}. \end{aligned}

Passo 8

Valoração 4: P=\text{F}, Q=\text{V}, R=\text{V}.
\begin{aligned} A&=\text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V},\\\ B&=\text{V}\wedge\text{V}=\text{V},\\\ C&=\text{F}\vee\text{V}=\text{V},\\\ D&=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V},\\\ E&=\text{F}\vee\text{V}=\text{V},\\\ F&=\text{F}\wedge\text{V}=\text{F},\\\ \Phi&=D\rightarrow F=\text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}. \end{aligned}

Passo 9

Valoração 5: P=\text{V}, Q=\text{F}, R=\text{F}.
\begin{aligned} A&=\text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F},\\\ B&=\text{F}\wedge\text{F}=\text{F},\\\ C&=\text{V}\vee\text{F}=\text{V},\\\ D&=\text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V},\\\ E&=\text{V}\vee\text{F}=\text{V},\\\ F&=\text{V}\wedge\text{V}=\text{V},\\\ \Phi&=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}. \end{aligned}

Passo 10

Valoração 6: P=\text{V}, Q=\text{F}, R=\text{V}.
\begin{aligned} A&=\text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F},\\\ B&=\text{F}\wedge\text{V}=\text{F},\\\ C&=\text{V}\vee\text{F}=\text{V},\\\ D&=\text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V},\\\ E&=\text{V}\vee\text{V}=\text{V},\\\ F&=\text{V}\wedge\text{V}=\text{V},\\\ \Phi&=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}. \end{aligned}

Passo 11

Valoração 7: P=\text{V}, Q=\text{V}, R=\text{F}.
\begin{aligned} A&=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V},\\\ B&=\text{V}\wedge\text{F}=\text{F},\\\ C&=\text{V}\vee\text{F}=\text{V},\\\ D&=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V},\\\ E&=\text{V}\vee\text{F}=\text{V},\\\ F&=\text{V}\wedge\text{V}=\text{V},\\\ \Phi&=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}. \end{aligned}

Passo 12

Valoração 8: P=\text{V}, Q=\text{V}, R=\text{V}.
\begin{aligned} A&=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V},\\\ B&=\text{V}\wedge\text{V}=\text{V},\\\ C&=\text{V}\vee\text{V}=\text{V},\\\ D&=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V},\\\ E&=\text{V}\vee\text{V}=\text{V},\\\ F&=\text{V}\wedge\text{V}=\text{V},\\\ \Phi&=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}. \end{aligned}

Resposta

P\quad Q\quad R\quad\Phi
\text{F}\;\; \text{F}\;\; \text{F}\;\; \text{V}
\text{F}\;\; \text{F}\;\; \text{V}\;\; \text{V}
\text{F}\;\; \text{V}\;\; \text{F}\;\; \text{V}
\text{F}\;\; \text{V}\;\; \text{V}\;\; \text{F}
\text{V}\;\; \text{F}\;\; \text{F}\;\; \text{V}
\text{V}\;\; \text{F}\;\; \text{V}\;\; \text{V}
\text{V}\;\; \text{V}\;\; \text{F}\;\; \text{V}
\text{V}\;\; \text{V}\;\; \text{V}\;\; \text{V}

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