Construa a tabela verdade de cada uma das sentenças
(P \wedge Q) \Longrightarrow P.

Passo 1

O enunciado pede para construir a tabela verdade da sentença (P \wedge Q) \Longrightarrow P.
Informações dadas:
  • As proposições atômicas são P e Q.
  • A expressão a avaliar é (P \wedge Q) \Longrightarrow P.
  • Como são duas proposições atômicas, existem 2^2=4 combinações possíveis de valores de verdade para (P,Q): (V,V), (V,F), (F,V) e (F,F).

Passo 2

Entender a conectiva \wedge (conjunção).
  • A conjunção A \wedge B é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é verdadeira ao mesmo tempo.
  • Em símbolos, a tabela de A\wedge B é:
    • Se A=V e B=V então A\wedge B=V.
    • Se A=V e B=F então A\wedge B=F.
    • Se A=F e B=V então A\wedge B=F.
    • Se A=F e B=F então A\wedge B=F.
Dica prática: pense em A\wedge B como “A e B”; se qualquer um faltar (for falso), a conjunção falha.

Passo 3

Entender a conectiva \Longrightarrow (implicação).
  • A implicação A \Longrightarrow B é falsa apenas quando A é verdadeira e B é falsa; nos outros três casos é verdadeira.
  • Intuição: "Se A então B". Se a condição A não acontece (ou seja, A é falso), a implicação é considerada verdadeira (não violou a promessa).
  • Resumo da tabela de A \Longrightarrow B:
    • A=V, B=V \Rightarrow A\Longrightarrow B = V.
    • A=V, B=F \Rightarrow A\Longrightarrow B = F.
    • A=F, B=V \Rightarrow A\Longrightarrow B = V.
    • A=F, B=F \Rightarrow A\Longrightarrow B = V.

Passo 4

Método para montar a tabela verdade de (P\wedge Q)\Longrightarrow P:
  • Listar as 4 combinações de (P,Q).
  • Para cada linha, calcular P\wedge Q usando o passo 2.
  • Em seguida, avaliar (P\wedge Q)\Longrightarrow P aplicando a regra da implicação do passo 3, onde o antecedente é P\wedge Q e o consequente é P.

Passo 5

Cálculo linha a linha (explicando a razão em palavras):
  1. Caso P=V,\\ Q=V.
    • P\wedge Q = V (porque ambos são verdadeiros).
    • Antecedente é verdadeiro e consequente P é verdadeiro, logo (P\wedge Q)\Longrightarrow P = V.
  2. Caso P=V,\\ Q=F.
    • P\wedge Q = F (porque Q é falso).
    • Antecedente é falso; implicação com antecedente falso é verdadeira, logo (P\wedge Q)\Longrightarrow P = V.
  3. Caso P=F,\\ Q=V.
    • P\wedge Q = F (porque P é falso).
    • Antecedente é falso; portanto (P\wedge Q)\Longrightarrow P = V.
  4. Caso P=F,\\ Q=F.
    • P\wedge Q = F (ambos falsos).
    • Antecedente é falso; portanto (P\wedge Q)\Longrightarrow P = V.
Observação conceitual: em todas as linhas a implicação resultou verdadeira. Isso é coerente com a ideia lógica de que "se P e Q então P" — a conjunção implica cada uma de suas conjunções (regra chamada de simplificação).

Passo 6

Conclusão didática:
  • A sentença (P\wedge Q)\Longrightarrow P é verdadeira para todas as combinações de valores de P e Q.
  • Em lógica proposicional, isso significa que a fórmula é uma tautologia (sempre verdadeira).
  • Na prova, quando vir algo do tipo (A\wedge B)\Longrightarrow A, já pode lembrar que isso é sempre verdadeiro — é um padrão comum.

Resposta

\begin{array}{c c c c} P & Q & P\wedge Q & (P\wedge Q)\Rightarrow P\\\ V & V & V & V\\\ V & F & F & V\\\ F & V & F & V\\\ F & F & F & V \end{array}

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