Calcular a seguinte integral dupla usando uma mudança de variavéis apropiada
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 cos (x^2+y^2) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^2integral0^raiz4-x^2cosl(x^2+y^2r),dy,dx
A região de integração é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante. Vamos usar coordenadas polares para transformar x^2+y^2 em r^2 e simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta,
com Jacobiano
partial(x,y)partial(r,theta) = r

Passo 3

Na nova parametrização, a região vira
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= tfracpi2
Logo a integral original fica
integraltheta=0^pi/2integralr=0^2cosl(r^2r),r,dr,dtheta

Passo 4

Calcular
integral0^2rcosl(r^2r),dr
fazendo u = r^2, du = 2r,dr. Assim
integral0^2rcosl(r^2r),dr = tfrac12integralu=0^4cos(u),du = tfrac12l[sin(u)r]0^4 = tfrac12sin(4)

Passo 5

A parte em theta é
integral0^pi/2dtheta = tfracpi2
Multiplicando pelos resultados, obtemos
integral0^pi/2!l(tfrac12sin(4)r),dtheta = tfrac12sin(4);cdot;tfracpi2 = tfracpi4sin(4)

Resposta

pi4sin(4)

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