Ache a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular para cada termo não homogêneo.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para o termo
notamos que
aparece na solução homogênea (ressonância de ordem 1). Logo assumimos um particular da forma
Calculamos
e igualamos a
. O cálculo leva a
Assim
Portanto
Passo 4
Para o termo
não há ressonância, então tomamos
Substituindo em
dá
Logo
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com os particulares: