Ache a solução geral das seguintes equações lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^prime prime+y=2 sen t+10 e^3 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + y = 2sen t + 10e^3t,
que é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular para cada termo não homogêneo.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 1 = 0 Longrightarrow r = pm i
Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para o termo 2sen t notamos que sen t aparece na solução homogênea (ressonância de ordem 1). Logo assumimos um particular da forma
yp1(t) = tl(Acos t + Bsin tr)
Calculamos yp1''+yp1 e igualamos a 2sen t. O cálculo leva a
yp1'' + yp1 = -2Asen t + 2Bcos t stackrel!= 2sen t
Assim
-2A = 2 Rightarrow A = -1, 2B = 0 Rightarrow B = 0
Portanto
yp1(t) = -,tcos t

Passo 4

Para o termo 10e^3t não há ressonância, então tomamos
yp2(t) = C,e^3t
Substituindo em y''+y=10e^3t
(9C + C)e^3t = 10e^3t Longrightarrow 10C = 10 Longrightarrow C = 1
Logo
yp2(t) = e^3t

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com os particulares:
y(t) = yh(t) + yp1(t) + yp2(t) = C1cos t + C2sin t ;-; tcos t ;+; e^3t

Resposta

y(t) = C1cos t + C2sin t ;-; tcos t ;+; e^3t

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