Encontre a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas x y=3, x y=9, x y^5=1 e x y^5=2, usando uma única integral dupla.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas
;xy=3,;xy=9,;xy^5=1 e ;xy^5=2.
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integral dupla para transformar essas curvas em retas no plano das novas variáveis.

Passo 2

Escolhemos a transformação
u = x,y, v = x,y^5
Nesse caso, ao variar sobre a região dada, u fica entre 3 e 9 e v entre 1 e 2. Logo, em coordenadas (u,v) nossa região vira o retângulo
D = (u,v)mid 3<= u<= 9,;1<= v<= 2

Passo 3

Para calcular o jacobiano precisamos da inversa (u,v)mapsto(x,y). Da definição
vu=x,y^5x,y=y^4 Longrightarrow y=l(vur)^1/4,
e então
x=uy =u(v/u)^1/4 =u^5/4v^1/4

Passo 4

Agora calculamos o jacobiano
J = partial(x,y)partial(u,v) =det partial x/partial u & partial x/partial v[6pt] partial y/partial u & partial y/partial v =14,v
Logo o elemento de área transforma-se em
dA = |J|,du,dv = 14,v,du,dv ]

Passo 5

A área procurada é
integral duplaregiãodA =integralu=3^9integralv=1^214,v,dv,du =integral3^9l[14ln vr]v=1^v=2,du =integral3^914ln2,du =14ln2,(9-3) =64ln2 =32ln2 ã

Resposta

A área da região é 32ln2.

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