Calcular as seguintes integrais indefinidas
\int(x-1) /\left((x-2)^{2}(x-3)^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x-1}{(x-2)^{2}\,(x-3)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de função racional por decomposição em frações parciais. Vamos fatorar o denominador, montar a decomposição e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Proponho a seguinte decomposição em frações parciais:
\frac{x-1}{(x-2)^{2}(x-3)^{2}} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{(x-2)^{2}} + \frac{C}{x-3} + \frac{D}{(x-3)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)^{2}(x-3)^{2}, obtemos a identidade polinomial
x - 1 = A\,(x-2)(x-3)^{2} + B\,(x-3)^{2} + C\,(x-3)(x-2)^{2} + D\,(x-2)^{2}.

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes de potências de x em
x - 1 = (A+C)x^{3} +(-8A+B-7C+D)x^{2} +(21A-6B+16C-4D)x +(-18A+9B-12C+4D),
temos o sistema
\begin{cases} A + C = 0,\\\\ -8A + B -7C + D = 0,\\\\ 21A -6B +16C -4D = 1,\\\\ -18A +9B -12C +4D = -1. \end{cases}
Dessa forma encontra-se
A = 3,\quad B = 1,\quad C = -3,\quad D = 2.

Passo 4

Substituindo na decomposição,
\frac{x-1}{(x-2)^{2}(x-3)^{2}} = \frac{3}{x-2} + \frac{1}{(x-2)^{2}} - \frac{3}{x-3} + \frac{2}{(x-3)^{2}}.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{3}{x-2}\,dx = 3\ln\lvert x-2\rvert, \quad \int \frac{1}{(x-2)^{2}}\,dx = -\frac{1}{x-2},
\int \bigl(-\frac{3}{x-3}\bigr)\,dx = -3\ln\lvert x-3\rvert, \quad \int \frac{2}{(x-3)^{2}}\,dx = -\frac{2}{x-3}.

Resposta

\int \frac{x-1}{(x-2)^{2}(x-3)^{2}}\,dx = 3\ln\bigl\lvert x-2\bigr\rvert -3\ln\bigl\lvert x-3\bigr\rvert -\frac{1}{x-2} -\frac{2}{x-3} + C,
onde C é a constante de integração.

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