Calcular as seguintes integrais indefinidas
\int(2 x+1) /\left(2 x^{2}+3 x-2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2x+1}{2x^{2}+3x-2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de frações parciais, pois o integrando é um quociente de polinômios em que o grau do numerador é menor que o grau do denominador.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador 2x^{2}+3x-2. Calculamos as raízes via fórmula de Bhaskara: o discriminante é
\Delta = 3^{2}-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25,
logo as raízes são
x = \frac{-3\pm5}{4}\;\Longrightarrow\;x=\frac{1}{2}\quad\text{e}\quad x=-2.
Assim
2x^{2}+3x-2 = 2\,(x-\tfrac12)\,(x+2) = (2x-1)\,(x+2).

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{2x+1}{(2x-1)(x+2)} =\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x+2}.
Multiplicando por (2x-1)(x+2), obtemos
2x+1 = A(x+2)+B(2x-1).
Expandindo e agrupando termos em x:
A(x+2)+B(2x-1) = (A+2B)\,x + (2A - B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A + 2B = 2,\\\\ 2A - B = 1, \end{cases}
resolve-se para
A = \frac{4}{5}, \quad B = \frac{3}{5}.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{2x+1}{2x^{2}+3x-2}\,dx = \frac{4}{5}\int \frac{dx}{2x-1} + \frac{3}{5}\int \frac{dx}{x+2}.
Sabendo que
\int \frac{dx}{2x-1} = \frac{1}{2}\ln\bigl|2x-1\bigr| \quad\text{e}\quad \int \frac{dx}{x+2} = \ln\bigl|x+2\bigr|,
segue que
\frac{4}{5}\int \frac{dx}{2x-1} = \frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}\ln\bigl|2x-1\bigr| = \frac{2}{5}\ln\bigl|2x-1\bigr|
e
\frac{3}{5}\int \frac{dx}{x+2} = \frac{3}{5}\ln\bigl|x+2\bigr|.

Resposta

\int \frac{2x+1}{2x^{2}+3x-2}\,dx = \frac{2}{5}\ln\bigl|2x-1\bigr| + \frac{3}{5}\ln\bigl|x+2\bigr| + C.

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