Calcular as seguintes integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
O integrando é uma função racional (quociente de polinômios). O grau do numerador é
e o grau do denominador é
, portanto a fração é própria e é adequada aplicar decomposição em frações parciais depois de fatorar o denominador.
Passo 2
Vamos fatorar o denominador
. Primeiro testamos raízes racionais possíveis
. Substituindo
obtemos
logo
é raiz e
é fator. Fazendo a divisão polinomial (ou método de Ruffini) dividindo por
obtemos o quociente
Fatorando esse quadrático:
Portanto o denominador fatorado é
Passo 3
Como o denominador está fatorado em fatores lineares, com
repetido (multiplicidade 2), a decomposição em frações parciais tem a forma
onde
são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 4
Expandimos e agrupamos termos no lado direito. Primeiro expandindo:
Somando:
Comparando coeficientes com
Da primeira equação
terceira:
Substituindo na última:
terceira:
Substituindo
Assim
Passo 5
Reescrevendo a integranda com os coeficientes encontrados:
Agora integramos termo a termo:
-
(Regra: .) -
(Regra da potência: para .) -
Somando os resultados e acrescentando a constante de integração
, a antiderivada é