Calcular as seguintes integrais:
\int \frac{x^{2}-5 x-10}{x^{3}-x^{2}-5 x-3} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-5 x-10}{x^{3}-x^{2}-5 x-3}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
\text{numerador}:\;x^{2}-5x-10, \qquad \text{denominador}:\;x^{3}-x^{2}-5x-3.
O integrando é uma função racional (quociente de polinômios). O grau do numerador é 2 e o grau do denominador é 3, portanto a fração é própria e é adequada aplicar decomposição em frações parciais depois de fatorar o denominador.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador x^{3}-x^{2}-5x-3. Primeiro testamos raízes racionais possíveis \pm1,\pm3. Substituindo x=-1 obtemos
(-1)^{3}-(-1)^{2}-5(-1)-3=-1-1+5-3=0,
logo x=-1 é raiz e x+1 é fator. Fazendo a divisão polinomial (ou método de Ruffini) dividindo por x+1 obtemos o quociente
x^{2}-2x-3.
Fatorando esse quadrático:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto o denominador fatorado é
x^{3}-x^{2}-5x-3=(x+1)(x^{2}-2x-3)=(x+1)(x-3)(x+1)=(x+1)^{2}(x-3).

Passo 3

Como o denominador está fatorado em fatores lineares, com x+1 repetido (multiplicidade 2), a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{x^{2}-5x-10}{(x+1)^{2}(x-3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{x-3},
onde A,B,C são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por (x+1)^{2}(x-3) obtemos a identidade polinomial
x^{2}-5x-10 = A(x+1)(x-3)+B(x-3)+C(x+1)^{2}.

Passo 4

Expandimos e agrupamos termos no lado direito. Primeiro expandindo:
A(x+1)(x-3)=A(x^{2}-2x-3)=Ax^{2}-2Ax-3A,
B(x-3)=Bx-3B,
C(x+1)^{2}=C(x^{2}+2x+1)=Cx^{2}+2Cx+C.
Somando:
Ax^{2}-2Ax-3A + Bx-3B + Cx^{2}+2Cx+C = (A+C)x^{2}+(-2A+B+2C)x+(-3A-3B+C).
Comparando coeficientes com x^{2}-5x-10\) obtemos o sistema \[\begin{cases} A + C = 1,\\[4pt] -2A + B + 2C = -5,\\[4pt] -3A -3B + C = -10. \end{cases}
Da primeira equação C=1-A\]. Substituindo nas outras: segunda: \(-2A + B + 2(1-A) = -5 \Rightarrow B-4A = -7 \Rightarrow B=4A-7.
terceira: -3A -3B + (1-A) = -10 \Rightarrow -4A -3B = -11.
Substituindo B=4A-7 na última:
-4A -3(4A-7) = -11 \Rightarrow -4A -12A +21 = -11 \Rightarrow -16A = -32 \Rightarrow A=2.
Assim
A=2,\qquad C=1-A= -1,\qquad B=4A-7=1.]

Passo 5

Reescrevendo a integranda com os coeficientes encontrados:
\frac{x^{2}-5x-10}{(x+1)^{2}(x-3)}=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{x-3}.
Agora integramos termo a termo:
  1. \displaystyle \int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|. (Regra: \int \frac{1}{u}du=\ln|u|+C.)
  2. \displaystyle \int \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \int (x+1)^{-2}\,dx = - (x+1)^{-1} = -\frac{1}{x+1}. (Regra da potência: \int u^{n}du=\frac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.)
  3. \displaystyle \int -\frac{1}{x-3}\,dx = -\ln|x-3|.
Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, a antiderivada é
2\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} - \ln|x-3| + C.

Resposta

2\ln|x+1|-\dfrac{1}{x+1}-\ln|x-3|+C

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