Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes.
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{(1+\sqrt{x})(1+x)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{(1+\sqrt{x})(1+x)}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A integral é própria no ponto x=1 e imprópria porque o limite de integração é +\infty.
  • O integrando é positivo para x\ge 1.
  • Pergunta: a integral converge ou diverge? (Se convergir, é útil também calcular seu valor.)

Passo 2

Vamos primeiro estudar o comportamento do integrando quando x\to+\infty, para decidir sobre convergência por comparação. Observação simples: para x\ge 1 temos \sqrt{x}\ge 1, então
1+\sqrt{x}\ge \sqrt{x}\qquad\text{e}\qquad 1+x\ge x.
Como os denominadores ficam maiores, a fração fica menor; portanto, para x\ge 1
0\le \frac{1}{(1+\sqrt{x})(1+x)} \le \frac{1}{\sqrt{x}\,x} = \frac{1}{x^{3/2}}.
Agora usamos o teste da comparação: sabemos que a integral p-ental
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{3}{2}>1, então
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{3/2}}\,dx
converge. Pela comparação (integrando positivo), a integral original também converge. Até aqui já temos a convergência. Agora, se você quiser, podemos calcular o valor exato da integral — e é isso que faremos a seguir.

Passo 3

Para calcular a integral, fazemos a substituição conveniente \,u=\sqrt{x}\,. Então
x=u^{2},\qquad dx=2u\,du.
Quando x=1 temos u=1. Quando x\to+\infty temos u\to+\infty. Substituindo na integral:
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{(1+\sqrt{x})(1+x)}\,dx = \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{(1+u)(1+u^{2})}\,2u\,du.
Ou seja,
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{(1+\sqrt{x})(1+x)}\,dx = \int_{1}^{+\infty}\frac{2u}{(u+1)(u^{2}+1)}\,du.

Passo 4

Agora resolvemos a integral racional por frações parciais. Procuramos constantes A,B,C\) tais que \[\frac{2u}{(u+1)(u^{2}+1)} = \frac{A}{u+1} + \frac{Bu+C}{u^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (u+1)(u^{2}+1) obtemos
2u = A(u^{2}+1) + (Bu+C)(u+1).
Expandindo o lado direito:
2u = A u^{2} + A + B u^{2} + (B+C)u + C.
Agrupando termos por potências de u:
2u = (A+B)u^{2} + (B+C)u + (A+C).
Comparando coeficientes com o lado esquerdo (que é 0\cdot u^{2} + 2\cdot u + 0), obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] B+C=2,\\[4pt] A+C=0. \end{cases}
Das duas primeiras equações tiramos A=-B\] e \(C=-A. Substituindo em B+C=2 B- A=2. Como A=-B, isso vira B-(-B)=2\Rightarrow 2B=2\Rightarrow B=1. Assim A=-1 e C=1.
Portanto a decomposição é
\frac{2u}{(u+1)(u^{2}+1)} = -\frac{1}{u+1} + \frac{u+1}{u^{2}+1}.
Note que \dfrac{u+1}{u^{2}+1}=\dfrac{u}{u^{2}+1}+\dfrac{1}{u^{2}+1}, o que facilita a integração.]

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int\left(-\frac{1}{u+1}+\frac{u}{u^{2}+1}+\frac{1}{u^{2}+1}\right)du.
As primitivas são:
  • \displaystyle \int -\frac{1}{u+1}\,du = -\ln|u+1|.
  • \displaystyle \int \frac{u}{u^{2}+1}\,du = \frac{1}{2}\ln(u^{2}+1) (porque derivada de u^{2}+1 é 2u).
  • \displaystyle \int \frac{1}{u^{2}+1}\,du = \arctan u.
Somando,
F(u) = -\ln(u+1) + \frac{1}{2}\ln(u^{2}+1) + \arctan u
é uma antiderivada da função integranda em u.

Passo 6

Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo com limite no infinito:
\int_{1}^{+\infty}\frac{2u}{(u+1)(u^{2}+1)}\,du = \lim_{R\to\infty} \bigl(F(R)-F(1)\bigr).
Calculemos F(R) quando R\to\infty. Observe que
-\ln(R+1)+\tfrac{1}{2}\ln(R^{2}+1) = -\ln R + \tfrac{1}{2}\cdot 2\ln R + o(1) = o(1),
mais precisamente a combinação tende a 0 quando R\to\infty. E \arctan R\to \tfrac{\pi}{2}. Logo
\lim_{R\to\infty} F(R) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.
Agora F(1) vale
F(1) = -\ln 2 + \frac{1}{2}\ln 2 + \arctan 1 = -\frac{1}{2}\ln 2 + \frac{\pi}{4}.
Portanto a integral vale
\frac{\pi}{2} -\left(-\frac{1}{2}\ln 2 + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\ln 2.

Passo 7

Conclusão final: a integral é convergente (pela comparação com 1/x^{3/2}) e, além disso, seu valor exato é \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\ln 2.

Resposta

Converge; \displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{1}{(1+\sqrt{x})(1+x)}\,dx = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\ln 2

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