A integral é própria no ponto x=1 e imprópria porque o limite de integração é +\infty.
O integrando é positivo para x\ge 1.
Pergunta: a integral converge ou diverge? (Se convergir, é útil também calcular seu valor.)
Passo 2
Vamos primeiro estudar o comportamento do integrando quando x\to+\infty, para decidir sobre convergência por comparação. Observação simples: para x\ge 1 temos \sqrt{x}\ge 1, então
Agora usamos o teste da comparação: sabemos que a integral p-ental
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{p}}\,dx
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{3}{2}>1, então
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{3/2}}\,dx
converge. Pela comparação (integrando positivo), a integral original também converge. Até aqui já temos a convergência. Agora, se você quiser, podemos calcular o valor exato da integral — e é isso que faremos a seguir.
Passo 3
Para calcular a integral, fazemos a substituição conveniente \,u=\sqrt{x}\,. Então
x=u^{2},\qquad dx=2u\,du.
Quando x=1 temos u=1. Quando x\to+\infty temos u\to+\infty. Substituindo na integral:
Agora resolvemos a integral racional por frações parciais. Procuramos constantes A,B,C\) tais que
\[\frac{2u}{(u+1)(u^{2}+1)} = \frac{A}{u+1} + \frac{Bu+C}{u^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (u+1)(u^{2}+1) obtemos
2u = A(u^{2}+1) + (Bu+C)(u+1).
Expandindo o lado direito:
2u = A u^{2} + A + B u^{2} + (B+C)u + C.
Agrupando termos por potências de u:
2u = (A+B)u^{2} + (B+C)u + (A+C).
Comparando coeficientes com o lado esquerdo (que é 0\cdot u^{2} + 2\cdot u + 0), obtemos o sistema
Das duas primeiras equações tiramos A=-B\] e \(C=-A. Substituindo em B+C=2 dá B- A=2. Como A=-B, isso vira B-(-B)=2\Rightarrow 2B=2\Rightarrow B=1. Assim A=-1 e C=1.