Calcular as seguintes integrais:
\int_{1}^{2}\left(x^{2}-3 x+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\left(x^{2}-3x+2\right)\,dx.
Informações fornecidas que usaremos:
\text{o função a integrar: }x^{2}-3x+2,\qquad \text{limites de integração: }1\text{ e }2.çãçã

Passo 2

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Assim decompomos
\int_{1}^{2}\left(x^{2}-3x+2\right)\,dx = \int_{1}^{2}x^{2}\,dx -3\int_{1}^{2}x\,dx + \int_{1}^{2}2\,dx.
Isto só reorganiza a conta, sem alterar o valor.

Passo 3

Agora precisamos de primitivais (antiderivadas). Regra básica (regra do poder): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui:
  • para x^{2} a antiderivada é \dfrac{x^{3}}{3};
  • para x (que é x^{1}) a antiderivada é \dfrac{x^{2}}{2};
  • para a constante 2 a antiderivada é 2x.
    Portanto uma primitiva da função dada é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-3\cdot\frac{x^{2}}{2}+2x.

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida de a até b é F(b)-F(a) onde F é uma primitiva. Logo
\int_{1}^{2}\left(x^{2}-3x+2\right)\,dx=F(2)-F(1).

Passo 5

Calculamos F(2) e F(1) passo a passo.
Para x=2:
F(2)=\frac{2^{3}}{3}-3\cdot\frac{2^{2}}{2}+2\cdot 2 = \frac{8}{3}-3\cdot\frac{4}{2}+4 = \frac{8}{3}-3\cdot 2+4 = \frac{8}{3}-6+4 = \frac{8}{3}-2 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3}.
Para x=1:
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-3\cdot\frac{1^{2}}{2}+2\cdot 1 = \frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2.
Colocando em sextos:
\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{2}{6}-\frac{9}{6}+\frac{12}{6}=\frac{5}{6}.

Passo 6

Subtraindo:
F(2)-F(1)=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}=\frac{4}{6}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}.
Como verificação rápida: note que x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2), que no intervalo [1,2] é \le 0 (zero nas extremidades e negativo dentro), então a integral negativa faz sentido.

Resposta

-\dfrac{1}{6}

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