Questão 5: Nos itens a seguir, use o teorema da função implícita para obter as derivadas (parciais).
\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \quad \sin x e^{4 x z}+2 z^{2} y=\cos z.

Passo 1

O enunciado pede para obter as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} da função z definida implicitamente pela equação
\sin x\,e^{4 x z}+2 z^{2} y=\cos z.
Informações dadas:
  • A equação relaciona x, y e z; devemos entender z como uma função de x e y: z=z(x,y).
  • Queremos as derivadas parciais de z em relação a x e a y.
  • Pressupomos que as funções envolvidas são diferenciáveis e que a fórmula da função implícita pode ser aplicada (isto exige que uma certa derivada parcial não seja zero, veremos qual).

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): definimos a função
F(x,y,z)=\sin x\,e^{4 x z}+2 z^{2} y-\cos z,
de modo que a equação dada é F(x,y,z)=0. Pelo teorema da função implícita, se F_z(x,y,z)\neq 0 então localmente existe z(x,y) diferenciável e as derivadas parciais são dadas por
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}.
Aqui F_x,F_y,F_z são as derivadas parciais de F calculadas tratando as outras variáveis (inclusive z) como constantes no respectivo diferencial parcial. Antes de aplicar a fórmula, vamos calcular F_x, F_y e F_z com cuidado, usando produto e cadeia quando necessário.
Breve revisão das regras usadas:
  • Regra do produto: (u v)' = u' v + u v'.
  • Regra da cadeia para exponencial: \dfrac{d}{dt}e^{g(t)} = e^{g(t)} g'(t).
    Vou aplicar essas regras explicitamente em cada derivação para que fique bem claro.

Passo 3

Cálculo de F_x (derivada parcial de F em relação a x, mantendo y e z constantes).
Começamos pela primeira parcela \sin x\,e^{4 x z}. Aplicando a regra do produto, com u=\sin x e v=e^{4 x z}:
  • u'=\cos x.
  • v'=e^{4 x z}\cdot derivada de 4xz em relação a x. Como z é tratado como constante aqui, \dfrac{\partial}{\partial x}(4 x z)=4z. Logo v'=e^{4 x z}\cdot 4z.
Portanto a derivada parcial da primeira parcela é
\cos x\;e^{4 x z} + \sin x\;e^{4 x z}\cdot 4 z.
As outras parcelas não dependem de x quando z é considerado constante: \dfrac{\partial}{\partial x}(2 z^{2} y)=0 e \dfrac{\partial}{\partial x}(-\cos z)=0. Assim
F_x = e^{4 x z}\bigl(\cos x + 4 z\sin x\bigr).

Passo 4

Cálculo de F_y (derivada parcial de F em relação a y, mantendo x e z constantes).
Apenas a parcela 2 z^{2} y depende de y (com z constante). A derivada é simples:
\frac{\partial}{\partial y}(2 z^{2} y)=2 z^{2}.
As outras parcelas não dependem de y quando z é mantido constante. Logo
F_y = 2 z^{2}.

Passo 5

Cálculo de F_z (derivada parcial de F em relação a z, mantendo x e y constantes).
Derivando cada parcela:
  • Para \sin x\,e^{4 x z}: \sin x é constante (ao derivar em relação a z), então pela regra da cadeia
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\sin x\,e^{4 x z}\bigr)=\sin x\;e^{4 x z}\cdot \frac{\partial}{\partial z}(4 x z) = \sin x\;e^{4 x z}\cdot 4 x.
  • Para 2 z^{2} y: y é constante, então
\frac{\partial}{\partial z}(2 z^{2} y)=2 y\cdot 2 z = 4 z y.
  • Para -\cos z: \dfrac{d}{dz}(-\cos z)=\sin z.
Somando:
F_z = 4 x\sin x\;e^{4 x z} + 4 z y + \sin z.

Passo 6

Aplicando a fórmula da função implícita:
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{e^{4 x z}\bigl(\cos x + 4 z\sin x\bigr)}{4 x\sin x\;e^{4 x z} + 4 z y + \sin z},
e
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{2 z^{2}}{4 x\sin x\;e^{4 x z} + 4 z y + \sin z}.
Observação final: essas fórmulas são válidas sempre que o denominador F_z=4 x\sin x\;e^{4 x z} + 4 z y + \sin z for diferente de zero — esse é exatamente o requisito do teorema da função implícita para garantir a existência local da função z(x,y) e das derivadas.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{e^{4 x z}\bigl(\cos x + 4 z\sin x\bigr)}{4 x\sin x\;e^{4 x z} + 4 z y + \sin z}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2 z^{2}}{4 x\sin x\;e^{4 x z} + 4 z y + \sin z}

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