Questão 5: Nos itens a seguir, use o teorema da função implícita para obter as derivadas (parciais).
.
Passo 1
O enunciado pede para obter as derivadas parciais
e
da função
definida implicitamente pela equação
Informações dadas:
- A equação relaciona
, e ; devemos entender como uma função de e : . - Queremos as derivadas parciais de
em relação a e a . - Pressupomos que as funções envolvidas são diferenciáveis e que a fórmula da função implícita pode ser aplicada (isto exige que uma certa derivada parcial não seja zero, veremos qual).
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): definimos a função
de modo que a equação dada é
. Pelo teorema da função implícita, se
então localmente existe
diferenciável e as derivadas parciais são dadas por
Aqui
são as derivadas parciais de
calculadas tratando as outras variáveis (inclusive
) como constantes no respectivo diferencial parcial. Antes de aplicar a fórmula, vamos calcular
,
e
com cuidado, usando produto e cadeia quando necessário.
Breve revisão das regras usadas:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia para exponencial:
.
Vou aplicar essas regras explicitamente em cada derivação para que fique bem claro.
Passo 3
Cálculo de
(derivada parcial de
em relação a
, mantendo
e
constantes).
Começamos pela primeira parcela
. Aplicando a regra do produto, com
e
:
-
. -
derivada de em relação a . Como é tratado como constante aqui, . Logo .
Portanto a derivada parcial da primeira parcela é
As outras parcelas não dependem de
quando
é considerado constante:
e
. Assim
Passo 4
Cálculo de
(derivada parcial de
em relação a
, mantendo
e
constantes).
Apenas a parcela
depende de
(com
constante). A derivada é simples:
As outras parcelas não dependem de
quando
é mantido constante. Logo
Passo 5
Cálculo de
(derivada parcial de
em relação a
, mantendo
e
constantes).
Derivando cada parcela:
- Para
: é constante (ao derivar em relação a ), então pela regra da cadeia
- Para
: é constante, então
- Para
: .
Somando:
Passo 6
Aplicando a fórmula da função implícita:
e
Observação final: essas fórmulas são válidas sempre que o denominador
for diferente de zero — esse é exatamente o requisito do teorema da função implícita para garantir a existência local da função
e das derivadas.