Questão 6: Encontre uma expressão para \frac{\partial^{2} z}{\partial u^{2}} e \frac{\partial^{2} z}{\partial v^{2}}, considerando que z=f(x, y) \mathrm{e}
x=u^{2}-v^{2}, \quad y=\frac{u}{v}

Passo 1

O enunciado dá que z=f(x,y) e que as variáveis x e y dependem de u e v por
x = u^{2}-v^{2},\qquad y=\frac{u}{v}.
O que nos pedem: encontrar expressões para \dfrac{\partial^{2} z}{\partial u^{2}} e \dfrac{\partial^{2} z}{\partial v^{2}}, isto é, as segundas derivadas parciais de z em relação a u e a v.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
x(u,v)=u^{2}-v^{2},\qquad y(u,v)=\frac{u}{v}.
Não há valores numéricos de f; devemos expressar as respostas em termos das derivadas parciais de f: \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, todas avaliadas no ponto (x(u,v),y(u,v)).

Passo 2

Primeiro calculemos as derivadas parciais de x e y em relação a u e v. Isto é mecânico e importante porque a regra da cadeia vai usá-las várias vezes.
Derivando x=u^{2}-v^{2}:
x_{u}=\frac{\partial x}{\partial u}=2u,\qquad x_{v}=\frac{\partial x}{\partial v}=-2v.
Derivando y=\dfrac{u}{v}=u\,v^{-1}:
y_{u}=\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{v},\qquad y_{v}=\frac{\partial y}{\partial v}=\frac{\partial}{\partial v}(u v^{-1})=-u v^{-2}=-\frac{u}{v^{2}}.
Guarde essas expressões; vamos usá-las nas próximas derivadas.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas primeiras de z(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)). Esclarecimento didático: a regra da cadeia para derivadas parciais diz que, por exemplo,
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\,x_{u}+\frac{\partial f}{\partial y}\,y_{u},
onde \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são avaliadas em (x(u,v),y(u,v)). Para simplificar a notação, chamarei
f_{x}=\frac{\partial f}{\partial x},\qquad f_{y}=\frac{\partial f}{\partial y},
sempre entendendo que são funções de (x,y) e, portanto, de (u,v) por composição.
Usando isso e os resultados do Passo 2:
\frac{\partial z}{\partial u}=z_{u}=f_{x}\,x_{u}+f_{y}\,y_{u}=f_{x}\,(2u)+f_{y}\,\Big(\frac{1}{v}\Big)=2u\,f_{x}+\frac{1}{v}\,f_{y}.
Analogamente,
\frac{\partial z}{\partial v}=z_{v}=f_{x}\,x_{v}+f_{y}\,y_{v}=f_{x}\,(-2v)+f_{y}\,\Big(-\frac{u}{v^{2}}\Big)=-2v\,f_{x}-\frac{u}{v^{2}}\,f_{y}.
Repare que f_{x} e f_{y} dependem de u e v indiretamente (pela dependência em x,y); por isso, ao derivarmos novamente, teremos que aplicar a regra da cadeia também a f_{x} e f_{y}.

Passo 4

Para calcular as segundas derivadas precisamos das derivadas de f_{x} e f_{y} em relação a u e v. A regra da cadeia aplicada a f_{x}(x(u,v),y(u,v)) dá:
\frac{\partial}{\partial u}(f_{x})=f_{xx}\,x_{u}+f_{xy}\,y_{u}, \qquad \frac{\partial}{\partial v}(f_{x})=f_{xx}\,x_{v}+f_{xy}\,y_{v},
e para f_{y}:
\frac{\partial}{\partial u}(f_{y})=f_{yx}\,x_{u}+f_{yy}\,y_{u}, \qquad \frac{\partial}{\partial v}(f_{y})=f_{yx}\,x_{v}+f_{yy}\,y_{v},
onde usamos a notação
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\quad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\quad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y},\quad f_{yx}=f_{xy}.
Lembre que x_{u},x_{v},y_{u},y_{v} foram calculados no Passo 2.

Passo 5

Calculando \dfrac{\partial^{2}z}{\partial u^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial u}(z_{u}). Partimos de
z_{u}=2u\,f_{x}+\frac{1}{v}\,f_{y}.
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Diferenciando termo a termo:
  • Derivada de 2u\,f_{x} em relação a u: \frac{\partial}{\partial u}(2u\,f_{x})=2\,f_{x}+2u\cdot\frac{\partial}{\partial u}(f_{x}) =2\,f_{x}+2u\big(f_{xx}\,x_{u}+f_{xy}\,y_{u}\big).
  • Derivada de \dfrac{1}{v}\,f_{y} em relação a u (note que 1/v é constante quando derivamos em relação a u): \frac{\partial}{\partial u}\Big(\frac{1}{v}f_{y}\Big)=\frac{1}{v}\cdot\frac{\partial}{\partial u}(f_{y}) =\frac{1}{v}\big(f_{yx}\,x_{u}+f_{yy}\,y_{u}\big).
Somando:
z_{uu}=2\,f_{x}+2u\big(f_{xx}\,x_{u}+f_{xy}\,y_{u}\big)+\frac{1}{v}\big(f_{yx}\,x_{u}+f_{yy}\,y_{u}\big).
Agora substituímos x_{u}=2u e y_{u}=1/v e usamos f_{yx}=f_{xy}:
\begin{aligned} z_{uu}&=2\,f_{x}+2u\big(f_{xx}\cdot 2u+f_{xy}\cdot\tfrac{1}{v}\big)+\tfrac{1}{v}\big(f_{xy}\cdot 2u+f_{yy}\cdot\tfrac{1}{v}\big)\\[6pt] &=2\,f_{x}+4u^{2}f_{xx}+\frac{2u}{v}f_{xy}+\frac{2u}{v}f_{xy}+\frac{1}{v^{2}}f_{yy}\\[6pt] &=4u^{2}f_{xx}+\frac{4u}{v}f_{xy}+\frac{1}{v^{2}}f_{yy}+2\,f_{x}. \end{aligned}
Portanto obtemos a expressão explícita para \dfrac{\partial^{2}z}{\partial u^{2}} em termos das derivadas de f.]

Passo 6

Agora calculemos \dfrac{\partial^{2}z}{\partial v^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial v}(z_{v}). Partimos de
z_{v}=-2v\,f_{x}-\frac{u}{v^{2}}\,f_{y}.
Novamente aplicamos produto + cadeia.
Derivando o primeiro termo -2v\,f_{x} em relação a v:
\frac{\partial}{\partial v}(-2v\,f_{x})=-2\,f_{x}+(-2v)\cdot\frac{\partial}{\partial v}(f_{x}) =-2\,f_{x}-2v\big(f_{xx}\,x_{v}+f_{xy}\,y_{v}\big).
Derivando o segundo termo -\dfrac{u}{v^{2}}\,f_{y} em relação a v: aqui u é tratado como constante. Seja g(v)=-\dfrac{u}{v^{2}}=-u v^{-2}. Então g'(v)=2u v^{-3}=\dfrac{2u}{v^{3}}. Assim,
\frac{\partial}{\partial v}\Big(-\frac{u}{v^{2}}f_{y}\Big)=\frac{2u}{v^{3}}f_{y}-\frac{u}{v^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial v}(f_{y}) =\frac{2u}{v^{3}}f_{y}-\frac{u}{v^{2}}\big(f_{yx}\,x_{v}+f_{yy}\,y_{v}\big).
Somando as contribuições:
z_{vv}=-2\,f_{x}-2v\big(f_{xx}\,x_{v}+f_{xy}\,y_{v}\big)+\frac{2u}{v^{3}}f_{y}-\frac{u}{v^{2}}\big(f_{yx}\,x_{v}+f_{yy}\,y_{v}\big).
Agora substituímos x_{v}=-2v e y_{v}=-\dfrac{u}{v^{2}} e f_{yx}=f_{xy}:
Calculemos termo a termo:
  • Para -2v\big(f_{xx}x_{v}+f_{xy}y_{v}\big) temos -2v\big(f_{xx}(-2v)+f_{xy}(-\tfrac{u}{v^{2}})\big)=-2v(-2v f_{xx}-\tfrac{u}{v^{2}}f_{xy}) =4v^{2}f_{xx}+\frac{2u}{v}f_{xy}.
  • Para -\dfrac{u}{v^{2}}\big(f_{xy}x_{v}+f_{yy}y_{v}\big) temos -\frac{u}{v^{2}}\big(f_{xy}(-2v)+f_{yy}(-\tfrac{u}{v^{2}})\big) =-\frac{u}{v^{2}}(-2v f_{xy}-\tfrac{u}{v^{2}}f_{yy}) =\frac{2u}{v}f_{xy}+\frac{u^{2}}{v^{4}}f_{yy}.
Somando tudo:
\begin{aligned} z_{vv}&=-2f_{x}+\big(4v^{2}f_{xx}+\tfrac{2u}{v}f_{xy}\big)+\frac{2u}{v^{3}}f_{y}+\big(\tfrac{2u}{v}f_{xy}+\tfrac{u^{2}}{v^{4}}f_{yy}\big)\\[6pt] &=4v^{2}f_{xx}+\frac{4u}{v}f_{xy}+\frac{u^{2}}{v^{4}}f_{yy}-2f_{x}+\frac{2u}{v^{3}}f_{y}. \end{aligned}
Pronto: esse é o resultado para \dfrac{\partial^{2}z}{\partial v^{2}}.]

Passo 7

Resumo e observação final prática: em todas as expressões acima, as derivadas de f f_{x},f_{xx},f_{xy},f_{yy},f_{y} — devem ser entendidas como avaliadas no ponto
\big(x(u,v),y(u,v)\big)=\Big(u^{2}-v^{2},\;\frac{u}{v}\Big).
Se precisar calcular numericamente, primeiro substitua esses x,y nas derivadas de f e depois nas fórmulas obtidas.

Resposta

\frac{\partial^{2} z}{\partial u^{2}}=4u^{2}f_{xx}+\frac{4u}{v}f_{xy}+\frac{1}{v^{2}}f_{yy}+2f_{x},
\frac{\partial^{2} z}{\partial v^{2}}=4v^{2}f_{xx}+\frac{4u}{v}f_{xy}+\frac{u^{2}}{v^{4}}f_{yy}-2f_{x}+\frac{2u}{v^{3}}f_{y},
onde f_{x},f_{y},f_{xx},f_{xy},f_{yy} estão avaliados em \big(x,y\big)=\big(u^{2}-v^{2},\,u/v\big).

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