Questão 6: Encontre uma expressão para
e
, considerando que
Passo 1
O enunciado dá que
e que as variáveis
e
dependem de
e
por
O que nos pedem: encontrar expressões para
e
, isto é, as segundas derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há valores numéricos de
; devemos expressar as respostas em termos das derivadas parciais de
:
,
,
,
e
, todas avaliadas no ponto
.
Passo 2
Primeiro calculemos as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Isto é mecânico e importante porque a regra da cadeia vai usá-las várias vezes.
Derivando
:
Derivando
:
Guarde essas expressões; vamos usá-las nas próximas derivadas.
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas primeiras de
. Esclarecimento didático: a regra da cadeia para derivadas parciais diz que, por exemplo,
onde
e
são avaliadas em
. Para simplificar a notação, chamarei
sempre entendendo que são funções de
e, portanto, de
por composição.
Usando isso e os resultados do Passo 2:
Analogamente,
Repare que
e
dependem de
e
indiretamente (pela dependência em
); por isso, ao derivarmos novamente, teremos que aplicar a regra da cadeia também a
e
.
Passo 4
Para calcular as segundas derivadas precisamos das derivadas de
e
em relação a
e
. A regra da cadeia aplicada a
dá:
e para
:
onde usamos a notação
Lembre que
foram calculados no Passo 2.
Passo 5
Calculando
. Partimos de
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Diferenciando termo a termo:
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a (note que é constante quando derivamos em relação a ):
Somando:
Agora substituímos
e
e usamos
:
Portanto obtemos a expressão explícita para
em termos das derivadas de
.]
Passo 6
Agora calculemos
. Partimos de
Novamente aplicamos produto + cadeia.
Derivando o primeiro termo
em relação a
:
Derivando o segundo termo
em relação a
: aqui
é tratado como constante. Seja
. Então
. Assim,
Somando as contribuições:
Agora substituímos
e
e
:
Calculemos termo a termo:
- Para
temos - Para
temos
Somando tudo:
Pronto: esse é o resultado para
.]
Passo 7
Resumo e observação final prática: em todas as expressões acima, as derivadas de
—
— devem ser entendidas como avaliadas no ponto
Se precisar calcular numericamente, primeiro substitua esses
nas derivadas de
e depois nas fórmulas obtidas.
Resposta
onde
estão avaliados em
.