Calcular as seguintes integrais:
\int_{-1}^{2}\left(x+x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\left(x+x^{4}\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: } x + x^{4}
\text{intervalo de integração: } [-1,\,2]çã
Pergunta: Qual é o valor numérico da integral definida acima?

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): para calcular uma integral de polinômio usamos a regra do poder (power rule) para antiderivadas. A regra diz:
\text{Se } n \neq -1,\quad \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui cada termo do polinômio tem antiderivada dada por essa fórmula. Explicando as letras: x é a variável de integração, n é o expoente, e o resultado \frac{x^{n+1}}{n+1} é uma função cuja derivada volta a ser x^n. Exemplo rápido extra: \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C.
Também usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é qualquer antiderivada de f (ou seja, F'=f), então a integral definida de a até b é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).
Agora aplicamos isso ao nosso integrando. Vamos achar uma antiderivada termo a termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
Portanto uma antiderivada para x+x^{4} é
F(x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{5}}{5}.

Passo 3

Agora avaliamos F nos extremos do intervalo e subtraímos conforme o Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro avaliamos em x=2:
F(2)=\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{5}}{5}.
Calcule passo a passo:
\frac{2^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2,
\frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5}.
Somando:
F(2)=2+\frac{32}{5}.
Colocando em denominador comum 5:
2=\frac{10}{5}\quad\Rightarrow\quad F(2)=\frac{10}{5}+\frac{32}{5}=\frac{42}{5}.
Agora avaliamos em x=-1:
F(-1)=\frac{(-1)^{2}}{2}+\frac{(-1)^{5}}{5}.
Calcule passo a passo:
\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{1}{2},
\frac{(-1)^{5}}{5}=\frac{-1}{5}=-\frac{1}{5}.
Somando com denominador comum 10:
\frac{1}{2}=\frac{5}{10},\quad \frac{1}{5}=\frac{2}{10}\quad\Rightarrow\quad F(-1)=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}.

Passo 4

Aplicamos F(2)-F(-1):
\int_{-1}^{2}\left(x+x^{4}\right)\,dx = F(2)-F(-1) = \frac{42}{5}-\frac{3}{10}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 10:
\frac{42}{5}=\frac{84}{10},
portanto
\frac{84}{10}-\frac{3}{10}=\frac{81}{10}.
Se quiser em decimal, isso é 8{,}1, mas a forma fracionária é \frac{81}{10}.

Resposta

\frac{81}{10}

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