Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}.
As informações dadas são:
  • A expressão é \dfrac{x^{3}-8}{x-2}.
  • O ponto de aproximação é x\to 2.
    A pergunta é: qual é o valor que essa fração tende quando x se aproxima de 2?

Passo 2

De forma prática, calcular esse limite significa encontrar o valor que a expressão \dfrac{x^{3}-8}{x-2} assume quando x se aproxima cada vez mais de 2. É importante notar que o valor do limite não depende do valor da expressão em x = 2, mas sim do seu comportamento nas proximidades desse ponto.

Passo 3

A primeira tentativa é substituir x = 2 diretamente na expressão. Calculando o numerador e o denominador em x = 2, obtemos:
x^{3}-8\big|_{x=2} = 2^{3}-8 = 8-8 = 0,
x-2\big|_{x=2} = 2-2 = 0.
Isso nos leva à forma \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Portanto, a substituição direta não é suficiente para determinar o limite. Precisamos manipular a expressão para remover essa indeterminação.

Passo 4

Uma técnica comum para lidar com indeterminações é fatorar o numerador. A fórmula da diferença de cubos é particularmente útil neste caso:
\text{Para quaisquer }a,b\quad a^{3}-b^{3}=(a-b)\,(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando essa fórmula com a = x e b = 2, temos:
x^{3}-8 = x^{3}-2^{3} = (x-2)\,(x^{2}+2x+4).

Passo 5

Substituindo essa fatoração na fração original, obtemos:
\frac{x^{3}-8}{x-2} = \frac{(x-2)\,(x^{2}+2x+4)}{x-2}.
Para x\neq 2, podemos cancelar o fator (x-2), simplificando a expressão para
\frac{x^{3}-8}{x-2} = x^{2}+2x+4 \quad(\text{para }x\neq 2).
Essa simplificação é válida para o cálculo do limite, pois o limite considera valores de x arbitrariamente próximos de 2, não necessariamente iguais a 2.

Passo 6

Como a função simplificada x^{2}+2x+4 é um polinômio, e polinômios são contínuos em todos os pontos, o limite quando x tende a um ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Portanto:
\lim_{x\to 2} \frac{x^{3}-8}{x-2} = \lim_{x\to 2} (x^{2}+2x+4) = 2^{2}+2\cdot 2 +4.

Passo 7

Calculando o valor numérico, temos:
2^{2}+2\cdot 2 +4 = 4 + 4 + 4 = 12.

Passo 8

Embora pudéssemos usar a regra de L’Hôpital, já que a expressão original era da forma \tfrac{0}{0}, a fatoração da diferença de cubos e o cancelamento do termo comum são mais diretos e exigem apenas álgebra elementar, sendo geralmente o método preferido em provas sem calculadora.
Um exemplo extra para fixar a técnica: \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}. Fatora-se x^{2}-4=(x-2)(x+2), cancela-se (x-2) e obtém-se x+2. Substituindo x=2 resulta em 4. Este exemplo é análogo ao anterior, mas com potências de 2 em vez de 3.

Resposta

12

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