Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2 x+3}-\sqrt{5}}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 1:
\lim_{x\to 1}\left[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}\right].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão é a razão entre duas quantidades que envolvem raízes quadradas.
  • Se substituirmos x=1 diretamente, obtemos no numerador \sqrt{1}-1=0 e no denominador \sqrt{2\cdot1+3}-\sqrt{5}=\sqrt{5}-\sqrt{5}=0. Ou seja, a forma é uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}.
  • O objetivo é manipular a expressão de modo a eliminar a indeterminação e permitir o cálculo do limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem resolver ainda): eliminar as raízes de forma algébrica para fatorar o termo (x-1) e cancelá-lo. Uma técnica clássica para lidar com diferenças de raízes é multiplicar pelo conjugado. Lembrete do elemento teórico usado:
  • Conjugado: para quaisquer números a e b, (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Isso serve para remover as raízes quando aparecem na forma a-b.
  • Outra identidade útil: para \sqrt{x}-1 pode-se usar a multiplicação por \sqrt{x}+1 para obter
\sqrt{x}-1=\frac{x-1}{\sqrt{x}+1},
o que mostra explicitamente o fator x-1. Essas manipulações permitem cancelar a indeterminação \frac{0}{0}.

Passo 3

Aplicar o conjugado ao denominador. Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{2x+3}+\sqrt{5}. Assim:
\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{x}-1)\bigl(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\bigr)}{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{5})\bigl(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\bigr)} = \frac{(\sqrt{x}-1)\bigl(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\bigr)}{(2x+3)-5}.

Passo 4

Simplificar o denominador (2x+3)-5 e usar a identidade para \sqrt{x}-1. Primeiro,
(2x+3)-5 = 2x-2 = 2(x-1).
Agora substituir \sqrt{x}-1=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1} na expressão do numerador:
\frac{(\sqrt{x}-1)\bigl(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\bigr)}{2(x-1)} = \frac{\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}\bigl(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\bigr)}{2(x-1)}.

Passo 5

Cancelar o fator x-1 (válido para x\neq1, e o limite é feito aproximando de 1) e simplificar:
\frac{\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}\bigl(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\bigr)}{2(x-1)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{\sqrt{x}+1}.
Agora a expressão resultante é contínua em x=1, então podemos calcular o limite por substituição direta.

Passo 6

Substituir x=1 na expressão simplificada:
  • \sqrt{2\cdot1+3}=\sqrt{5}.
  • \sqrt{1}=1.
    Portanto
\frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{\sqrt{x}+1}\Bigg|_{x=1}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{5}}{1+1}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} obtido antes, o limite vale
\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{5}}{2}

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