A expressão é a razão entre duas quantidades que envolvem raízes quadradas.
Se substituirmos x=1 diretamente, obtemos no numerador \sqrt{1}-1=0 e no denominador \sqrt{2\cdot1+3}-\sqrt{5}=\sqrt{5}-\sqrt{5}=0. Ou seja, a forma é uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}.
O objetivo é manipular a expressão de modo a eliminar a indeterminação e permitir o cálculo do limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem resolver ainda): eliminar as raízes de forma algébrica para fatorar o termo (x-1) e cancelá-lo. Uma técnica clássica para lidar com diferenças de raízes é multiplicar pelo conjugado. Lembrete do elemento teórico usado:
Conjugado: para quaisquer números a e b, (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Isso serve para remover as raízes quando aparecem na forma a-b.
Outra identidade útil: para \sqrt{x}-1 pode-se usar a multiplicação por \sqrt{x}+1 para obter
\sqrt{x}-1=\frac{x-1}{\sqrt{x}+1},
o que mostra explicitamente o fator x-1. Essas manipulações permitem cancelar a indeterminação \frac{0}{0}.
Passo 3
Aplicar o conjugado ao denominador. Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{2x+3}+\sqrt{5}. Assim: