Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3}\left[\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 3:
\lim_{x \rightarrow 3}\left[\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}\right].
Informações dadas:
  • A expressão envolve raízes cúbicas \sqrt[3]{x} e o ponto x=3.
  • Deve-se encontrar o valor numérico do limite.

Passo 2

Uma ideia útil é introduzir uma nova variável para limpar a notação. Seja
a=\sqrt[3]{x}\qquad\text{e}\qquad b=\sqrt[3]{3}.
Então x=a^{3} e 3=b^{3}. Ao estudar o limite original, a diferença x-3 fica escrita como a^{3}-b^{3}, o que permite usar uma fatoração algébrica conhecida. Isso facilita muito a simplificação.

Passo 3

Lembra da identidade da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Aplicando essa identidade ao nosso caso, obtemos
x-3=a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Portanto a fração do enunciado pode ser reescrita (desde que x\neq3, para evitar divisão por zero) como
\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}=\frac{a-b}{a^{3}-b^{3}}=\frac{a-b}{(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr)}=\frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}.

Passo 4

Agora substituímos de volta a ideia do limite. Quando x\to3 temos a=\sqrt[3]{x}\to\sqrt[3]{3}=b. Assim o limite original se transforma em
\lim_{x\to3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}=\lim_{a\to b}\frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}.
Aqui usamos que a mudança de variável é contínua e a transformação algébrica é válida para x\neq3. O denominador a^{2}+ab+b^{2} é uma função contínua de a, então podemos simplesmente substituir a=b no limite.

Passo 5

Substituindo a=b=\sqrt[3]{3} no denominador, obtemos
\lim_{a\to b}\frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{1}{b^{2}+b\cdot b+b^{2}}=\frac{1}{3b^{2}}.
Como b=\sqrt[3]{3}, escrevendo de forma mais explícita o resultado fica
\frac{1}{3\bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2}}.

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo parecido: calcular \lim_{x\to8}\dfrac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}. Fazendo a=\sqrt[3]{x} e b=2 (pois 2^{3}=8), obtemos o limite igual a \dfrac{1}{3b^{2}}=\dfrac{1}{3\cdot 2^{2}}=\dfrac{1}{12}. É exatamente o mesmo procedimento aplicado ao número 8.

Resposta

\dfrac{1}{3^{5/3}}

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