Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- A expressão envolve raízes cúbicas
e o ponto . - Deve-se encontrar o valor numérico do limite.
Passo 2
Uma ideia útil é introduzir uma nova variável para limpar a notação. Seja
Então
e
. Ao estudar o limite original, a diferença
fica escrita como
, o que permite usar uma fatoração algébrica conhecida. Isso facilita muito a simplificação.
Passo 3
Lembra da identidade da diferença de cubos:
Aplicando essa identidade ao nosso caso, obtemos
Portanto a fração do enunciado pode ser reescrita (desde que
, para evitar divisão por zero) como
Passo 4
Agora substituímos de volta a ideia do limite. Quando
temos
. Assim o limite original se transforma em
Aqui usamos que a mudança de variável é contínua e a transformação algébrica é válida para
. O denominador
é uma função contínua de
, então podemos simplesmente substituir
no limite.
Passo 5
Substituindo
no denominador, obtemos
Como
, escrevendo de forma mais explícita o resultado fica
Passo 6
Para fixar a ideia, um exemplo parecido: calcular
. Fazendo
e
(pois
), obtemos o limite igual a
. É exatamente o mesmo procedimento aplicado ao número
.