Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\sqrt[3]{x-1}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f(x)=\sqrt[3]{x-1}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt[3]{x-1}.
  • O radicando (a expressão dentro da raiz) é x-1.
  • O índice da raiz é 3 (ou seja, é uma raiz de ordem 3).
O que queremos: o conjunto de todos os valores reais de x para os quais a expressão \sqrt[3]{x-1} está bem definida como número real.

Passo 2

Entender a regra das raízes (explicação passo a passo, sem pressa):
  • Para uma raiz de ordem n (índice n), se n for par (por exemplo n=2 para a raiz quadrada), então o radicando precisa ser maior ou igual a zero para que o resultado seja um número real. Exemplo: \sqrt{4}=2 está bem definida, mas \sqrt{-1} não é um número real.
  • Se n for ímpar (por exemplo n=3 para a raiz cúbica), então podemos extrair raiz de qualquer número real, positivo, zero ou negativo. Exemplo: \sqrt[3]{8}=2 e \sqrt[3]{-8}=-2. A razão intuitiva: a função g(t)=t^3 envia todos os reais em todos os reais (é bijetora), então todo real tem uma raiz cúbica real.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
  • O índice é 3, que é ímpar. Portanto não há restrição no radicando: x-1 pode ser qualquer número real.
  • Logo qualquer x\in\mathbb{R} é permitido. Exemplos para ficar tranquilo:
    • x=0 f(0)=\sqrt[3]{0-1}=\sqrt[3]{-1}=-1.
    • x=1 f(1)=\sqrt[3]{1-1}=\sqrt[3]{0}=0.
    • x=2 f(2)=\sqrt[3]{2-1}=\sqrt[3]{1}=1.

Passo 4

Conclusão: o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação comum isso é (-\infty,\infty), ou simplesmente \mathbb{R}.

Resposta

\mathbb{R}

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