Calcular a solução do problema de valor inicial: y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=2 e^{-2 x} \operatorname{sen} x, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a solução do problema de valor inicial dado por:
y'' + 6y' + 13y = 2 e^{-2x}\sin x, \qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=1.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • A parte homogênea é y''+6y'+13y=0.
  • A força externa (termo não-homogêneo) é 2 e^{-2x}\sin x.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=1.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''+6y'+13y=0.
Passo padrão: escrever a equação característica. Seja r a raiz característica, então
r^2 + 6r + 13 = 0.
Calculo das raízes usando a fórmula quadrática:
r = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot1\cdot13}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36-52}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-6 \pm 4i}{2} = -3 \pm 2i.
Explicação didática: quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas -\alpha \pm i\beta, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = e^{-\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\big).
Aqui \alpha=3 e \beta=2. Logo
y_h(x) = e^{-3x}\big(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\big).

Passo 3

Encontrar uma solução particular [y_p) para a equação não-homogênea. Método: coeficientes a determinar (ansatz) adequado ao termo forçante 2 e^{-2x}\sin x.
Motivação do ansatz: o lado direito é uma exponencial e^{-2x} multiplicada por uma senoide \sin x. Para termos dessa forma, tenta-se
y_p(x) = e^{-2x}\big(a\cos x + b\sin x\big),
onde a e b são constantes a determinar. (Isto é o método dos coeficientes indeterminados; a multiplicação por e^{-2x} e pelos cosseno/seno cobre a forma do forçante.)
Agora calculo y_p' e y_p'' passo a passo.
Primeiro, definir u(x)=a\cos x + b\sin x. Então y_p=e^{-2x}u(x).
Derivando:
y_p' = (e^{-2x})' u + e^{-2x} u' = -2e^{-2x}u + e^{-2x}u' = e^{-2x}\big(u' - 2u\big).
Calcular u':
u'(x) = -a\sin x + b\cos x.
Substituindo:
y_p' = e^{-2x}\big((-a\sin x + b\cos x) - 2(a\cos x + b\sin x)\big).
Agrupando termos em \cos x e \sin x:
y_p' = e^{-2x}\big((b - 2a)\cos x + (-2b - a)\sin x\big).
Agora y_p''. Derivar y_p':
y_p'' = (e^{-2x})'\big((b - 2a)\cos x + (-2b - a)\sin x\big) + e^{-2x}\frac{d}{dx}\big((b - 2a)\cos x + (-2b - a)\sin x\big).
Como (e^{-2x})'=-2e^{-2x} e derivada do bracket é
\frac{d}{dx}\big((b - 2a)\cos x + (-2b - a)\sin x\big) = -(b - 2a)\sin x + (-2b - a)\cos x,
obtém-se
y_p'' = e^{-2x}\Big(-(b - 2a)\sin x + (-2b - a)\cos x -2\big((b - 2a)\cos x + (-2b - a)\sin x\big)\Big).
Agrupando coeficientes de \cos x e \sin x:
  • Coeficiente de \cos x:
(-2b - a) - 2(b - 2a) = -2b - a -2b +4a = 3a -4b.
  • Coeficiente de \sin x:
-(b - 2a) -2(-2b - a) = -b +2a +4b +2a = 4a +3b.
Logo
y_p'' = e^{-2x}\big((3a - 4b)\cos x + (4a + 3b)\sin x\big).
Substituir y_p, y_p', y_p'' na equação
y'' + 6y' + 13y = 2 e^{-2x}\sin x.
Fatorando e^{-2x}, os coeficientes de \cos x e \sin x no lado esquerdo são:
  • Para \cos x:
(3a -4b) + 6(b - 2a) + 13a.
Calcular:
3a -4b + 6b -12a +13a = (3a -12a +13a) +(-4b +6b) = 4a + 2b.
  • Para \sin x:
(4a +3b) + 6(-2b - a) + 13b.
Calcular:
4a +3b -12b -6a +13b = (4a -6a) + (3b -12b +13b) = -2a +4b.
Portanto a equação reduz-se a
e^{-2x}\big((4a+2b)\cos x + (-2a+4b)\sin x\big) = 2 e^{-2x}\sin x.
Comparando coeficientes (pois e^{-2x}\cos x e e^{-2x}\sin x são linearmente independentes), obtemos o sistema linear para a,b:
\begin{cases} 4a + 2b = 0,\\[4pt] -2a + 4b = 2. \end{cases}
Resolver: da primeira equação 2a + b = 0 \Rightarrow b = -2a\]. Substituindo na segunda: \[-2a + 4(-2a) = 2 \Rightarrow -2a -8a = 2 \Rightarrow -10a = 2 \Rightarrow a = -\tfrac{1}{5}.\] Então \(b = -2a = \tfrac{2}{5}.
Logo uma solução particular é
y_p(x) = e^{-2x}\Big(-\tfrac{1}{5}\cos x + \tfrac{2}{5}\sin x\Big) = \tfrac{1}{5}e^{-2x}\big(-\cos x + 2\sin x\big).]

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-3x}\big(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\big) + \tfrac{1}{5}e^{-2x}\big(-\cos x + 2\sin x\big).

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Calcular y(0). Usar que \cos 0 = 1, \sin 0 = 0, e^0=1:
y(0) = C_1 + \tfrac{1}{5}(-1) = C_1 - \tfrac{1}{5}.
Pela condição y(0)=1:
C_1 - \tfrac{1}{5} = 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 1 + \tfrac{1}{5} = \tfrac{6}{5}.
Agora calcular y'(x) e y'(0). Já temos fórmulas auxiliares usadas no cálculo de y_p'; repito os valores numéricos para a e b:
a = -\tfrac{1}{5},\qquad b=\tfrac{2}{5}.
Do cálculo anterior,
y_p'(x) = e^{-2x}\big((b - 2a)\cos x + (-2b - a)\sin x\big).
Com a,b obtém-se b-2a = \tfrac{4}{5} e -2b - a = -\tfrac{3}{5}. Assim
y_p'(0) = \tfrac{4}{5}.
Para y_h(x)=e^{-3x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x), uso a fórmula derivada:
y_h'(x) = e^{-3x}\big(-3(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x) + (-2C_1\sin 2x + 2C_2\cos 2x)\big).
Avaliar em x=0:
y_h'(0) = -3C_1 + 2C_2.
Portanto
y'(0) = y_h'(0) + y_p'(0) = -3C_1 + 2C_2 + \tfrac{4}{5}.
Pela condição y'(0)=1:
-3C_1 + 2C_2 + \tfrac{4}{5} = 1 \quad\Rightarrow\quad -3C_1 + 2C_2 = 1 - \tfrac{4}{5} = \tfrac{1}{5}.
Substituir C_1=\tfrac{6}{5}:
-3\cdot\tfrac{6}{5} + 2C_2 = \tfrac{1}{5} \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{18}{5} + 2C_2 = \tfrac{1}{5}
2C_2 = \tfrac{1}{5} + \tfrac{18}{5} = \tfrac{19}{5} \quad\Rightarrow\quad C_2 = \tfrac{19}{10}.

Resposta

y(x)=e^{-3x}\Big(\tfrac{6}{5}\cos(2x)+\tfrac{19}{10}\sin(2x)\Big) +\tfrac{1}{5}e^{-2x}\big(-\cos x + 2\sin x\big).

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