Calcular a solução do problema de valor inicial:
,
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a solução do problema de valor inicial dado por:
Informações fornecidas:
- A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- A parte homogênea é
. - A força externa (termo não-homogêneo) é
. - Condições iniciais:
e .
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Passo padrão: escrever a equação característica. Seja
a raiz característica, então
Calculo das raízes usando a fórmula quadrática:
Explicação didática: quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é
Aqui
e
. Logo
Passo 3
Encontrar uma solução particular [y_p) para a equação não-homogênea. Método: coeficientes a determinar (ansatz) adequado ao termo forçante
.
Motivação do ansatz: o lado direito é uma exponencial
multiplicada por uma senoide
. Para termos dessa forma, tenta-se
onde
e
são constantes a determinar. (Isto é o método dos coeficientes indeterminados; a multiplicação por
e pelos cosseno/seno cobre a forma do forçante.)
Agora calculo
e
passo a passo.
Primeiro, definir
. Então
.
Derivando:
Calcular
:
Substituindo:
Agrupando termos em
e
:
Agora
. Derivar
:
Como
e derivada do bracket é
obtém-se
Agrupando coeficientes de
e
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Logo
Substituir
na equação
Fatorando
, os coeficientes de
e
no lado esquerdo são:
- Para
:
Calcular:
- Para
:
Calcular:
Portanto a equação reduz-se a
Comparando coeficientes (pois
e
são linearmente independentes), obtemos o sistema linear para
:
Resolver: da primeira equação
.
Logo uma solução particular é
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Calcular
. Usar que
,
,
:
Pela condição
:
Agora calcular
e
. Já temos fórmulas auxiliares usadas no cálculo de
; repito os valores numéricos para
e
:
Do cálculo anterior,
Com
obtém-se
e
. Assim
Para
, uso a fórmula derivada:
Avaliar em
:
Portanto
Pela condição
:
Substituir
: