Calcular
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular os valores de
para os seguintes inteiros:
Ou seja, preciso encontrar e
.
Ou seja, preciso encontrar
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (a explicação didática):
é o número de divisores positivos de
. A ferramenta padrão e muito prática é fatorar
em primos. Se
onde
são primos distintos e
são expoentes inteiros não negativos, então a fórmula para o número de divisores é
Por que essa fórmula funciona? Para formar um divisor de
escolhe-se para cada primo
um expoente entre
e
(esses são os possíveis expoentes no divisor). Há
escolhas independentes para cada primo, e pelo princípio fundamental da contagem multiplicamos as escolhas.
Exemplo rápido para fixar:
. Então
. De fato os divisores de
são
(6 divisores).
Agora aplico esse método aos números do enunciado: primeiro farei fatoração por tentativa (dividindo por primos) e depois aplicarei a fórmula.
Passo 3
Calcular
.
Fatoração passo a passo:
- Tentar
: , logo divide. -
não é divisível por . Tentar : , logo divide. -
é primo.
Portanto
Aplicando a fórmula
Interpretação: há
divisores positivos de
.
Passo 4
Calcular
.
Fatoração passo a passo (divisões sucessivas por
porque o número é par):
Parou em
(ímpar), então coletamos quatro fatores
:
. Agora fatorar
:
ou seja
.
Portanto
Aplicando a fórmula
Passo 5
Calcular
.
Fatoração passo a passo:
-
é par: . -
. Assim há pelo menos . -
não é divisível por . Testar : . -
. -
é primo.
Logo
Aplicando a fórmula
Passo 6
Calcular
.
Primeiro fatorar
. Método: testar divisibilidade por primos pequenos (isso chama-se divisão por tentativa). Lembrança útil: ao testar se um número composto tem um fator não-trivial, basta testar divisões por primos até
. Se nenhum primo até
divide, o número é primo.
Passos:
- O último dígito é
, logo divide. Calcular
- Agora fatorar
. Estimativa: está entre e (porque ), então basta testar primos até . - Testar
: não divide (é ímpar). - Testar
: soma dos dígitos , não múltiplo de . - Testar
: não termina em ou . - Testar
: (exatamente), então divide. - Fica
. Reconhecer (pois ). - Portanto
.
Juntando com o fator
inicial,
Aplicando a fórmula