Calcular \tau(42), \tau(240), \tau(420) e \tau(10115).

Passo 1

O enunciado pede para calcular os valores de \tau(n) para os seguintes inteiros:
\,42,\;240,\;420,\;10115.
Ou seja, preciso encontrar \tau(42),\;\tau(240),\;\tau(420) e \tau(10115).

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (a explicação didática): \tau(n) é o número de divisores positivos de n. A ferramenta padrão e muito prática é fatorar n em primos. Se
n = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{k}^{a_{k}},
onde p_{i} são primos distintos e a_{i} são expoentes inteiros não negativos, então a fórmula para o número de divisores é
\tau(n) = (a_{1}+1)(a_{2}+1)\cdots(a_{k}+1).
Por que essa fórmula funciona? Para formar um divisor de n escolhe-se para cada primo p_{i} um expoente entre 0 e a_{i} (esses são os possíveis expoentes no divisor). Há a_{i}+1 escolhas independentes para cada primo, e pelo princípio fundamental da contagem multiplicamos as escolhas.
Exemplo rápido para fixar: 12 = 2^{2}\cdot3^{1}. Então \tau(12) = (2+1)(1+1)=3\cdot2=6. De fato os divisores de 12 são 1,2,3,4,6,12 (6 divisores).
Agora aplico esse método aos números do enunciado: primeiro farei fatoração por tentativa (dividindo por primos) e depois aplicarei a fórmula.

Passo 3

Calcular \tau(42).
Fatoração passo a passo:
  • Tentar 2: 42\div2=21, logo 2 divide.
  • 21 não é divisível por 2. Tentar 3: 21\div3=7, logo 3 divide.
  • 7 é primo.
Portanto
42 = 2^{1}\cdot3^{1}\cdot7^{1}.
Aplicando a fórmula
\tau(42)=(1+1)(1+1)(1+1)=2\cdot2\cdot2=8.
Interpretação: há 8 divisores positivos de 42.

Passo 4

Calcular \tau(240).
Fatoração passo a passo (divisões sucessivas por 2 porque o número é par):
240\div2=120,\quad 120\div2=60,\quad 60\div2=30,\quad 30\div2=15.
Parou em 15 (ímpar), então coletamos quatro fatores 2: 2^{4}. Agora fatorar 15:
15\div3=5,\quad 5\div5=1,
ou seja 15=3^{1}\cdot5^{1}.
Portanto
240 = 2^{4}\cdot3^{1}\cdot5^{1}.
Aplicando a fórmula
\tau(240)=(4+1)(1+1)(1+1)=5\cdot2\cdot2=20.

Passo 5

Calcular \tau(420).
Fatoração passo a passo:
  • 420 é par: 420\div2=210.
  • 210\div2=105. Assim há pelo menos 2^{2}.
  • 105 não é divisível por 2. Testar 3: 105\div3=35.
  • 35\div5=7.
  • 7 é primo.
Logo
420 = 2^{2}\cdot3^{1}\cdot5^{1}\cdot7^{1}.
Aplicando a fórmula
\tau(420)=(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=3\cdot2\cdot2\cdot2=24.

Passo 6

Calcular \tau(10115).
Primeiro fatorar 10115. Método: testar divisibilidade por primos pequenos (isso chama-se divisão por tentativa). Lembrança útil: ao testar se um número composto tem um fator não-trivial, basta testar divisões por primos até \sqrt{n}. Se nenhum primo até \sqrt{n} divide, o número é primo.
Passos:
  • O último dígito é 5, logo 5 divide. Calcular
10115\div5 = 2023.
  • Agora fatorar 2023. Estimativa: \sqrt{2023} está entre 44 e 45 (porque 45^{2}=2025), então basta testar primos até 43.
  • Testar 2: não divide (é ímpar).
  • Testar 3: soma dos dígitos 2+0+2+3=7, não múltiplo de 3.
  • Testar 5: não termina em 0 ou 5.
  • Testar 7: 2023\div7=289 (exatamente), então 7 divide.
  • Fica 289. Reconhecer 289 = 17^{2} (pois 17\cdot17=289).
  • Portanto 2023 = 7\cdot17^{2}.
Juntando com o fator 5 inicial,
10115 = 5^{1}\cdot7^{1}\cdot17^{2}.
Aplicando a fórmula
\tau(10115)=(1+1)(1+1)(2+1)=2\cdot2\cdot3=12.

Resposta

\tau(42)=8
\tau(240)=20
\tau(420)=24
\tau(10115)=12

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