Resolva as equações abaixo:
b)
b)
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver a equação
, isto é, encontrar todos os valores de
(reais) que satisfazem essa igualdade. Informação dada: o símbolo
representa a função piso (parte inteira inferior) de um número real.
Passo 2
Definição e ideia chave (passo didático): para qualquer real
existe um inteiro
tal que
e esse inteiro é exatamente
. Podemos então escrever
na forma
onde a parte fracionária
satisfaz
Essa representação é muito útil porque separa a parte inteira da parte fracionária.
Passo 3
Aplicando a representação ao nosso problema: seja
ou seja,
é um inteiro e podemos escrever
com
(aqui
). Então
Note que
é um inteiro (soma de inteiros) e
permanece na faixa
.
Passo 4
Agora avaliamos o piso de
. Como
é inteiro e
, ao somar
não ultrapassamos
, logo
Mas
, portanto
Perceba que não usamos nenhuma hipótese adicional sobre
: a igualdade foi deduzida apenas da definição da parte inteira.
Passo 5
Conclusão e exemplos para fixar a intuição: a igualdade é verdadeira para todo real
. Exemplos rápidos:
- Se
então e . - Se
então e .