Resolva as equações abaixo:
b)
\lfloor x+3\rfloor=\lfloor x\rfloor+3

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a equação \lfloor x+3\rfloor=\lfloor x\rfloor+3, isto é, encontrar todos os valores de x (reais) que satisfazem essa igualdade. Informação dada: o símbolo \lfloor\cdot\rfloor representa a função piso (parte inteira inferior) de um número real.

Passo 2

Definição e ideia chave (passo didático): para qualquer real x existe um inteiro m tal que
m \le x < m+1,
e esse inteiro é exatamente \lfloor x\rfloor. Podemos então escrever x na forma
x = \lfloor x\rfloor + \{x\},
onde a parte fracionária \{x\} satisfaz
0 \le \{x\} < 1.
Essa representação é muito útil porque separa a parte inteira da parte fracionária.

Passo 3

Aplicando a representação ao nosso problema: seja
n := \lfloor x\rfloor,
ou seja, n é um inteiro e podemos escrever
x = n + r
com 0 \le r < 1 (aqui r=\{x\}). Então
x+3 = (n+3) + r.
Note que n+3 é um inteiro (soma de inteiros) e r permanece na faixa [0,1).

Passo 4

Agora avaliamos o piso de x+3. Como n+3 é inteiro e 0 \le r < 1, ao somar r não ultrapassamos n+4, logo
\lfloor x+3\rfloor = \lfloor (n+3)+r\rfloor = n+3.
Mas n=\lfloor x\rfloor, portanto
\lfloor x+3\rfloor = \lfloor x\rfloor + 3.
Perceba que não usamos nenhuma hipótese adicional sobre x: a igualdade foi deduzida apenas da definição da parte inteira.

Passo 5

Conclusão e exemplos para fixar a intuição: a igualdade é verdadeira para todo real x. Exemplos rápidos:
  • Se x=2{,}7 então \lfloor x\rfloor=2 e \lfloor x+3\rfloor=\lfloor5{,}7\rfloor=5=2+3.
  • Se x=-1{,}2 então \lfloor x\rfloor=-2 e \lfloor x+3\rfloor=\lfloor1{,}8\rfloor=1=-2+3.

Resposta

\mathbb{R}

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