Sendo p e q primos, calcule \sigma(p \mathrm{q}), \sigma\left(p^{3}\right) e \sigma\left(p^{2} \mathrm{q}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as somas dos divisores (função \sigma) nos três casos abaixo, sabendo que p e q são números primos:
  • Calcular \sigma(pq).
  • Calcular \sigma\left(p^{3}\right).
  • Calcular \sigma\left(p^{2}q\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • p e q são primos.
  • \sigma(n) denota a soma de todos os divisores positivos de n (por exemplo, \sigma(6)=1+2+3+6).

Passo 2

Primeira ideia que vamos usar (fórmula para potências de primo). Quais são os divisores de uma potência de primo \;p^{a}? São exatamente
1,\; p,\; p^{2},\; \dots,\; p^{a}.
Portanto, a soma dos divisores de p^{a} é a soma da progressão geométrica
\sigma\!\left(p^{a}\right)=1+p+p^{2}+\cdots+p^{a}.
A soma dessa série geométrica tem fórmula conhecida. Para entender essa fórmula, faça a conta simples: multiplique a soma por p e subtraia:
p\bigl(1+p+\cdots+p^{a}\bigr)=p+p^{2}+\cdots+p^{a+1}.
Subtraindo as duas expressões obtemos
(p-1)\bigl(1+p+\cdots+p^{a}\bigr)=p^{a+1}-1.
Isolando a soma,
\sigma\!\left(p^{a}\right)=1+p+\cdots+p^{a}=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}.
Aqui \;a é um inteiro não negativo; no nosso caso usaremos a=2 e a=3.

Passo 3

Segunda ideia que vamos usar (multiplicatividade para números coprimos). Se m e n são inteiros positivos com \gcd(m,n)=1, então cada divisor de mn é produto de um divisor de m por um divisor de n, de maneira única. Assim a soma dos divisores de mn é a soma dupla
\sum_{d\mid mn} d \;=\; \sum_{r\mid m}\sum_{s\mid n} rs \;=\;\Bigl(\sum_{r\mid m} r\Bigr)\Bigl(\sum_{s\mid n} s\Bigr).
Em notação funcional:
\text{se }\gcd(m,n)=1\text{ então }\sigma(mn)=\sigma(m)\,\sigma(n).ã
No nosso problema p e q são primos distintos (ou, no mínimo, coprimos), logo podemos aplicar essa propriedade sempre que os fatores sejam coprimos.

Passo 4

Agora aplico as ideias para \sigma(pq). Como p e q são primos distintos, \gcd(p,q)=1, então por multiplicatividade
\sigma(pq)=\sigma(p)\,\sigma(q).
Cada primo tem apenas os divisores 1 e ele próprio, então
\sigma(p)=1+p,\qquad \sigma(q)=1+q.
Logo
\sigma(pq)=(1+p)(1+q).
Expandindo,
\sigma(pq)=1+p+q+pq.

Passo 5

Agora \sigma\!\left(p^{3}\right). Usando a fórmula para potências de primo com a=3:
\sigma\!\left(p^{3}\right)=1+p+p^{2}+p^{3}.
Também podemos escrever em forma fechada usando a fórmula da soma geométrica:
\sigma\!\left(p^{3}\right)=\frac{p^{4}-1}{p-1}.

Passo 6

Finalmente \sigma\!\left(p^{2}q\right). Note que p^{2} e q são coprimos (pois q é primo diferente de p), então pela multiplicatividade
\sigma\!\left(p^{2}q\right)=\sigma\!\left(p^{2}\right)\,\sigma(q).
Pelo passo 2, \sigma\!\left(p^{2}\right)=1+p+p^{2}. E \sigma(q)=1+q. Portanto
\sigma\!\left(p^{2}q\right)=(1+p+p^{2})(1+q).
Se expandirmos:
\sigma\!\left(p^{2}q\right)=1+p+p^{2}+q+pq+p^{2}q.
Também poderíamos escrever \sigma\!\left(p^{2}q\right)=\dfrac{p^{3}-1}{p-1}\,(1+q), usando a forma fechada para \sigma(p^{2}).

Passo 7

Para dar confiança rápida, um exemplo numérico: com p=2 e q=3,
\sigma(6)=(1+2)(1+3)=3\cdot4=12,
confere com 1+2+3+6=12. Para \sigma(8)=1+2+4+8=15 e pela fórmula \dfrac{2^{4}-1}{2-1}=15. Para \sigma(12)=(1+2+4)(1+3)=7\cdot4=28, confere com 1+2+3+4+6+12=28.

Resposta

\sigma(pq)=(1+p)(1+q)=1+p+q+pq
\sigma\!\left(p^{3}\right)=1+p+p^{2}+p^{3}=\dfrac{p^{4}-1}{p-1}
\sigma\!\left(p^{2}q\right)=(1+p+p^{2})(1+q)=1+p+p^{2}+q+pq+p^{2}q

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