Sendo p e q primos, calcule
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as somas dos divisores (função
) nos três casos abaixo, sabendo que
e
são números primos:
- Calcular
. - Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
-
e são primos. -
denota a soma de todos os divisores positivos de (por exemplo, ).
Passo 2
Primeira ideia que vamos usar (fórmula para potências de primo). Quais são os divisores de uma potência de primo
? São exatamente
Portanto, a soma dos divisores de
é a soma da progressão geométrica
A soma dessa série geométrica tem fórmula conhecida. Para entender essa fórmula, faça a conta simples: multiplique a soma por
e subtraia:
Subtraindo as duas expressões obtemos
Isolando a soma,
Aqui
é um inteiro não negativo; no nosso caso usaremos
e
.
Passo 3
Segunda ideia que vamos usar (multiplicatividade para números coprimos). Se
e
são inteiros positivos com
, então cada divisor de
é produto de um divisor de
por um divisor de
, de maneira única. Assim a soma dos divisores de
é a soma dupla
Em notação funcional:
No nosso problema
e
são primos distintos (ou, no mínimo, coprimos), logo podemos aplicar essa propriedade sempre que os fatores sejam coprimos.
Passo 4
Agora aplico as ideias para
. Como
e
são primos distintos,
, então por multiplicatividade
Cada primo tem apenas os divisores
e ele próprio, então
Logo
Expandindo,
Passo 5
Agora
. Usando a fórmula para potências de primo com
:
Também podemos escrever em forma fechada usando a fórmula da soma geométrica:
Passo 6
Finalmente
. Note que
e
são coprimos (pois
é primo diferente de
), então pela multiplicatividade
Pelo passo 2,
. E
. Portanto
Se expandirmos:
Também poderíamos escrever
, usando a forma fechada para
.
Passo 7
Para dar confiança rápida, um exemplo numérico: com
e
,
confere com
. Para
e pela fórmula
. Para
, confere com
.