Calcular o tempo necessário para que a 1 mm da superfície seja alcançado 0,4 \% C, aquecendo-se um aço 1020 a 900 e a 950{ }^{\circ} \mathrm{C}. Supor que o potencial de carbono na superfície seja de 0,8 \%. Nessas condições, qual seria a profundidade da camada cementada \left(\mathrm{X}_{\mathrm{p}}\right) ?

Passo 1

O enunciado trata de cementação de um aço 1020 (teor inicial de carbono C_{0}=0{,}2\%) em atmosfera com potencial de carbono na superfície C_{s}=0{,}8\%. Queremos o tempo t necessário para que, a uma profundidade x=1\\ \mathrm{mm}, o teor atinja C(x,t)=0{,}4\%, nas temperaturas de 900\,^{\circ}\mathrm{C} e 950\,^{\circ}\mathrm{C}. Em seguida, escrever a expressão para a profundidade da camada cementada X_{p} em função do tempo.

Passo 2

Para difusão unidimensional em meia-espaço semi–infinito com concentração de superfície mantida constante, a solução da segunda lei de Fick é
C(x,t)\;=\;C_{0}\;+\;(C_{s}-C_{0})\;\erf\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\Bigr),
onde D é o coeficiente de difusão do carbono na austenita à temperatura T.

Passo 3

Normalizamos para achar o argumento da função erro:
\frac{C(x,t)-C_{0}}{C_{s}-C_{0}} \;=\; \frac{0{,}4-0{,}2}{0{,}8-0{,}2} \;=\; \frac{0{,}2}{0{,}6} \;=\;0{,}3333.
Logo
\erf\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\Bigr) \;=\;0{,}3333 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{2\sqrt{D\,t}} \;=\;\erf^{-1}(0{,}3333)\;\approx\;0{,}305.

Passo 4

Isolando t:
\frac{x}{2\cdot0{,}305} \;=\;\sqrt{D\,t} \qquad\Longrightarrow\qquad t \;=\;\frac{x^{2}}{4\;(0{,}305)^{2}\;D} \;=\;\frac{x^{2}}{0{,}372\;D}.
Aqui x=1\\ \mathrm{mm}=1\times10^{-3}\,\mathrm{m}.

Passo 5

Para calcular D usa-se a lei de Arrhenius
D \;=\; D_{0}\,\exp\!\Bigl(-\frac{Q}{R\,T}\Bigr).
Adotando valores típicos para carbono em austenita:
D_{0}=2,2\times10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s},\quad Q=143\times10^{3}\,\mathrm{J/mol},\quad R=8{,}314\,\mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Temperaturas absolutas:
T_{900}=900+273=1173\\ \mathrm{K}, \quad T_{950}=950+273=1223\\ \mathrm{K}.
Calculando:
Para 900\,^{\circ}\mathrm{C}:
D_{900} =2{,}2\times10^{-5}\exp\!\Bigl(-\tfrac{143\times10^{3}}{8{,}314\times1173}\Bigr) \approx8{,}7\times10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s},
t_{900} =\frac{(1\times10^{-3})^{2}}{0{,}372\times8{,}7\times10^{-12}} \approx3,1\times10^{5}\,\mathrm{s} \approx86\;\mathrm{h}.
Para 950\,^{\circ}\mathrm{C}:
D_{950} \approx2,2\times10^{-5}\exp\!\Bigl(-\tfrac{143\times10^{3}}{8{,}314\times1223}\Bigr) \approx1{,}6\times10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s},
t_{950} =\frac{1\times10^{-6}}{0{,}372\times1{,}6\times10^{-11}} \approx1,73\times10^{5}\,\mathrm{s} \approx48\;\mathrm{h}.

Passo 6

De forma geral, a profundidade na qual o teor atinge um valor C_{p} (aqui 0{,}4\%) após um tempo t é
X_{p} =2\,\sqrt{D\,t}\;\;\erf^{-1}\!\Bigl(\frac{C_{p}-C_{0}}{C_{s}-C_{0}}\Bigr).

Resposta

Para que a 1 mm de profundidade o teor chegue a 0,4 %C:
900\circC \to t\approx86 h
950\circC \to t\approx48 h
A profundidade da camada cementada em geral é
X_{p} =2\,\sqrt{D\,t}\;\erf^{-1}\!\bigl((C_{p}-C_{0})/(C_{s}-C_{0})\bigr).

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