Uma coluna de aço ( E=200 G P a ) de seção W 12 \times 87\left(I_{1-1}=3,08 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{4} e I_{2-2}=1,00 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{4}\right) \quad tem comprimento L=4,5 m, está apoiada apenas nas extremidades e pode flambar em qualquer direção.
Calcule o carregamento admissível P_{\text {adm }} baseado no carregamento crítico com um fator de segurança n=2,25. Considere as seguintes condições de apoio:
(a) pino-pino;

Passo 1

O enunciado pede o carregamento admissível P_{\text{adm}} baseado no carregamento crítico de flambagem com fator de segurança n=2{,}25 para uma coluna de aço com comprimento L=4{,}5\\ \mathrm{m} apoiada como pino-pino. Dados fornecidos:
E=200\\ \mathrm{GPa}=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},
I_{1-1}=3{,}08\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4},
I_{2-2}=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4},
L=4{,}5\\ \mathrm{m},
n=2{,}25.
Observação do enunciado: a coluna “pode flambar em qualquer direção” — isto significa que devemos usar o momento de inércia que resulte no menor carregamento crítico (o eixo mais fraco).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
A flambagem elástica (Euler) para uma coluna longa e idealizada tem carga crítica dada por
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}.
Expliquei cada símbolo:
  • P_{cr} é a carga crítica de flambagem (unidade: N);
  • \pi é a constante 3{,}14159\ldots;
  • E é o módulo de elasticidade do material (Pa = N/m²);
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flambagem considerado (m⁴);
  • K é o fator de comprimento efetivo que depende das condições de apoio;
  • L é o comprimento da coluna (m).
    Para condições pino-pino (ambas extremidades articuladas) o fator é
K=1.
Como a coluna pode flambar em qualquer direção, devemos calcular P_{cr} para as duas direções possíveis (usando I_{1-1} e I_{2-2}) e tomar o menor P_{cr} — esse será o modo crítico real.

Passo 3

Calcular P_{cr} usando o menor momento de inércia ( I_{2-2}=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4}), passo a passo.
A fórmula com K=1 fica
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{L^{2}}.
Substituindo:
P_{cr,2}=\frac{\pi^{2}\cdot(200\times10^{9})\cdot(1{,}00\times10^{-4})}{(4{,}5)^{2}}.
Agora faço as operações em etapas:
E\cdot I = (200\times10^{9})\cdot(1{,}00\times10^{-4}) = 2{,}00\times10^{7}.
\pi^{2}\approx9{,}8696.
Logo o numerador é
\pi^{2} E I \approx 9{,}8696\times(2{,}00\times10^{7}) = 1{,}97392\times10^{8}.
O denominador é
L^{2}=(4{,}5)^{2}=20{,}25.
Portanto
P_{cr,2}=\frac{1{,}97392\times10^{8}}{20{,}25}\approx9{,}7478\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Observação: este é o valor aproximado da carga crítica para flambagem no eixo fraco (2-2).

Passo 4

Verificação mostrando que o outro eixo fornece carga crítica maior (apenas para confirmar que o mínimo foi corretamente escolhido).
Usando I_{1-1}=3{,}08\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4}:
E\cdot I_{1}=(200\times10^{9})\cdot(3{,}08\times10^{-4})=6{,}16\times10^{7}.
\pi^{2}E I_{1}\approx9{,}8696\times6{,}16\times10^{7}=6{,}07967\times10^{8}.
P_{cr,1}=\frac{6{,}07967\times10^{8}}{20{,}25}\approx3{,}0023\times10^{7}\\ \mathrm{N}.
Comparando: P_{cr,1}\approx3{,}00\times10^{7}\\ \mathrm{N} é bem maior que P_{cr,2}\approx9{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{N}. Como a coluna flambará na direção mais fraca, o valor crítico relevante é
P_{cr}=P_{cr,2}\approx9{,}7478\times10^{6}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Aplicar fator de segurança n=2{,}25 para obter o carregamento admissível:
A definição usada é
P_{\text{adm}}=\frac{P_{cr}}{n}.
Substituindo os valores:
P_{\text{adm}}=\frac{9{,}7478\times10^{6}}{2{,}25}.
Faço a divisão (nota: 2{,}25=\tfrac{9}{4}, então dividir por 2{,}25 equivale a multiplicar por \tfrac{4}{9}):
P_{\text{adm}}=9{,}7478\times10^{6}\times\frac{4}{9}\approx4{,}3323\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Para leitura prática, isso equivale a aproximadamente 4{,}332\times10^{6}\\ \mathrm{N}=4{,}332\\ \mathrm{MN} (mega-newtons) ou 4{,}332\times10^{3}\\ \mathrm{kN}=4332\\ \mathrm{kN}.

Resposta

P_{\text{adm}}=4{,}3323\times10^{6}\\ \mathrm{N}

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