Calcular o trabalho adiabático reversível necessário para comprimir o volume ocupado por 1,2 \mathrm{~kg} de ar atmosférico, cuja pressão inicial manométrica inicial é de 500 kPa para a pressão final manométrica de 1.500 kPa . A temperatura inicial é de 32^{\circ} \mathrm{C}, o expoente adiabático do ar é de 1,399 e o peso molecular de 28,97 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. Dica: O cálculo não é em um ciclo, mas numa etapa.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido):\n
  • Massa do ar: m=1{,}2\\ \mathrm{kg}.\n
  • Pressão manométrica inicial: p_{1,\text{man}}=500\\ \mathrm{kPa} (isto é pressão gauge, relativa à atmosfera).\n
  • Pressão manométrica final: p_{2,\text{man}}=1500\\ \mathrm{kPa}.\n
  • Temperatura inicial: T_1=32^\circ\mathrm{C}. Vou converter para kelvin no passo seguinte.\n
  • Expoente adiabático (razão de capacidades térmicas): \gamma=1{,}399.\n
  • Massa molar do ar: M=28{,}97\\ \mathrm{g/mol}=0{,}02897\\ \mathrm{kg/mol}.\n
  • O processo é adiabático reversível (isentrópico para gás ideal): pede-se o trabalho necessário para comprimir (ou seja, o trabalho entregue ao sistema).\n
    Assunção necessária (não dada explicitamente): pressão atmosférica padrão \,p_{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}. Vou usar esse valor para transformar pressões manométricas em pressões absolutas.\n

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados):\n
  1. Ar ideal e processo adiabático reversível: para um gás ideal em processo adiabático reversível vale a relação
p\,v^{\gamma}=\text{constante}.
Aqui p é pressão absoluta e v volume específico (volume por unidade de massa). Dessa relação, usando também a equação dos gases ideais p v = R T, obtém-se a relação entre temperaturas e pressões:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Essa fórmula é muito útil: a partir das pressões absolutas conhecemos a razão de temperaturas sem precisar conhecer volumes.\n
2) Primeira lei para sistema fechado (massa fixa) em processo adiabático (sem calor trocado): \Delta U = -W_{\text{by}}. Aqui \Delta U = m c_v (T_2-T_1). Se perguntam “trabalho necessário para comprimir”, entendemos o trabalho entregue ao sistema W_{\text{on}}, que tem sinal oposto ao trabalho realizado pelo sistema: W_{\text{on}} = -W_{\text{by}} = \Delta U = m c_v (T_2-T_1).\n
3) Relação entre constantes térmicas e constante dos gases: c_p - c_v = R e \gamma = \dfrac{c_p}{c_v}. Daí
c_v=\frac{R}{\gamma-1}.
Explicação: R é a constante específica do gás (J/kg·K), c_v é a capacidade térmica a volume constante (J/kg·K). Com \gamma conhecido, podemos obter c_v facilmente se conhecermos R.\n

Passo 3

Calcular a constante específica R do ar a partir da constante universal. A constante universal é \,R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. A constante específica do gás é
R=\frac{R_u}{M},
onde M é a massa molar em \mathrm{kg/mol}. Substituindo:
R=\frac{8{,}314462618}{0{,}02897}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\approx 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 4

Calcular c_v usando \;c_v=\dfrac{R}{\gamma-1}.\n
Substituindo:
c_v=\frac{287{,}05}{1{,}399-1}=\frac{287{,}05}{0{,}399}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\approx 719{,}43\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Verificação rápida (conforto): c_p=\gamma c_v\approx 1{,}399\cdot 719{,}43\approx 1006{,}48\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e c_p-c_v\approx 287{,}05, consistente com R.

Passo 5

Converter temperaturas e obter pressões absolutas.\n
Temperatura inicial em kelvin:
T_1=32^\circ\mathrm{C}=32+273{,}15=305{,}15\\ \mathrm{K}.\n
Pressões absolutas (somando pressão atmosférica às pressões manométricas):
p_1=p_{atm}+p_{1,\text{man}}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}+500\\ \mathrm{kPa}=601{,}325\\ \mathrm{kPa}=601\,325\\ \mathrm{Pa},
p_2=p_{atm}+p_{2,\text{man}}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}+1500\\ \mathrm{kPa}=1601{,}325\\ \mathrm{kPa}=1\,601\,325\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Calcular a razão de pressões e o expoente \dfrac{\gamma-1}{\gamma}, depois T_2.\n
Razão de pressões:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{1\,601\,325}{601\,325}\approx 2{,}662.
Expoente:
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}399-1}{1{,}399}=\frac{0{,}399}{1{,}399}\approx 0{,}285918.
Agora usar a relação das temperaturas:
T_2=T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Substituindo numericamente:
T_2=305{,}15\cdot(2{,}662)^{0{,}285918}\approx 305{,}15\cdot 1{,}3228\approx 403{,}67\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Calcular a variação de temperatura e o trabalho (energia) necessário.\n
Variação de temperatura:
\Delta T=T_2-T_1=403{,}67-305{,}15=98{,}52\\ \mathrm{K}.\n
Trabalho fornecido ao sistema (trabalho necessário para comprimir), usando W_{\text{on}}=m c_v \Delta T:
W_{\text{on}}=1{,}2\cdot 719{,}43\cdot 98{,}52\\ \mathrm{J}.
Calcule passo a passo:\n
719{,}43\cdot 98{,}52\approx 70\,877{,}7\\ \mathrm{J},\n
W_{\text{on}}=1{,}2\cdot 70\,877{,}7\approx 85\,053{,}2\\ \mathrm{J}.\n
Em unidades mais usuais:
W_{\text{on}}\approx 85{,}05\\ \mathrm{kJ}.

Passo 8

Interpretação do sinal e conclusão rápida:\n
Como comprimimos o gás, a temperatura aumenta e a energia interna do sistema aumenta; o trabalho “necessário” (ou entregue ao sistema) é positivo e igual a \Delta U, que calculamos. Logo é preciso fornecer cerca de 85{,}05\\ \mathrm{kJ} ao ar para efetuar essa compressão adiabática reversível nas condições dadas.

Resposta

85{,}05\\ \mathrm{kJ}

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