Calcular o trabalho adiabático reversível necessário para comprimir o volume ocupado por
de ar atmosférico, cuja pressão inicial manométrica inicial é de 500 kPa para a pressão final manométrica de 1.500 kPa . A temperatura inicial é de
, o expoente adiabático do ar é de 1,399 e o peso molecular de
. Dica: O cálculo não é em um ciclo, mas numa etapa.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumido):\n
- Massa do ar:
.\n - Pressão manométrica inicial:
(isto é pressão gauge, relativa à atmosfera).\n - Pressão manométrica final:
.\n - Temperatura inicial:
. Vou converter para kelvin no passo seguinte.\n - Expoente adiabático (razão de capacidades térmicas):
.\n - Massa molar do ar:
.\n - O processo é adiabático reversível (isentrópico para gás ideal): pede-se o trabalho necessário para comprimir (ou seja, o trabalho entregue ao sistema).\n
Assunção necessária (não dada explicitamente): pressão atmosférica padrão. Vou usar esse valor para transformar pressões manométricas em pressões absolutas.\n
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados):\n
- Ar ideal e processo adiabático reversível: para um gás ideal em processo adiabático reversível vale a relação
Aqui
é pressão absoluta e
volume específico (volume por unidade de massa). Dessa relação, usando também a equação dos gases ideais
, obtém-se a relação entre temperaturas e pressões:
Essa fórmula é muito útil: a partir das pressões absolutas conhecemos a razão de temperaturas sem precisar conhecer volumes.\n
2) Primeira lei para sistema fechado (massa fixa) em processo adiabático (sem calor trocado): . Aqui
. Se perguntam “trabalho necessário para comprimir”, entendemos o trabalho entregue ao sistema
, que tem sinal oposto ao trabalho realizado pelo sistema:
\n
3) Relação entre constantes térmicas e constante dos gases: e
. Daí
2) Primeira lei para sistema fechado (massa fixa) em processo adiabático (sem calor trocado):
3) Relação entre constantes térmicas e constante dos gases:
Explicação:
é a constante específica do gás (J/kg·K),
é a capacidade térmica a volume constante (J/kg·K). Com
conhecido, podemos obter
facilmente se conhecermos
.\n
Passo 3
Calcular a constante específica
do ar a partir da constante universal. A constante universal é
. A constante específica do gás é
onde
é a massa molar em
. Substituindo:
Passo 4
Calcular
usando
.\n
Substituindo:
Substituindo:
Verificação rápida (conforto):
e
, consistente com
.
Passo 5
Converter temperaturas e obter pressões absolutas.\n
Temperatura inicial em kelvin:
Temperatura inicial em kelvin:
Pressões absolutas (somando pressão atmosférica às pressões manométricas):
Passo 6
Calcular a razão de pressões e o expoente
, depois
.\n
Razão de pressões:
Razão de pressões:
Expoente:
Agora usar a relação das temperaturas:
Substituindo numericamente:
Passo 7
Calcular a variação de temperatura e o trabalho (energia) necessário.\n
Variação de temperatura:
Variação de temperatura:
Trabalho fornecido ao sistema (trabalho necessário para comprimir), usando
:
Calcule passo a passo:\n
Em unidades mais usuais:
Passo 8
Interpretação do sinal e conclusão rápida:\n
Como comprimimos o gás, a temperatura aumenta e a energia interna do sistema aumenta; o trabalho “necessário” (ou entregue ao sistema) é positivo e igual a , que calculamos. Logo é preciso fornecer cerca de
ao ar para efetuar essa compressão adiabática reversível nas condições dadas.
Como comprimimos o gás, a temperatura aumenta e a energia interna do sistema aumenta; o trabalho “necessário” (ou entregue ao sistema) é positivo e igual a