O que o exercício pede: encontrar explicitamente y(t) para todos os t\ge0 (ou seja, escrever y(t) peça a peça nos intervalos indicados por f).\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as equações diferenciais lineares de segunda ordem, as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1 e as funções forçantes f(t) que são funções por partes (constantes em intervalos). Não há figura ou dado ausente.]
Passo 2
Ideia do método que vamos usar (explicação didática):\n
Para cada equação linear com coeficientes constantes da forma L[y]=f(t) (em particular L[y]=y''+ay'+by), existe uma função chamada função de Green ou resposta ao impulso g(t) que satisfaz
L[g]=0\quad\text{para }t>0,
com condições iniciais
g(0)=0,\qquad g'(0)=1.
A solução do problema de valor inicial com as condições dadas pode ser escrita como soma da solução homogênea que satisfaz as condições iniciais e de uma integral (convolução) que incorpora a força f(t). Mais precisamente, se y_h(t) é a solução da homogênea com as mesmas condições iniciais, então a solução do problema forçado é
y(t)=y_h(t)+\int_0^t g(t-\tau)\,f(\tau)\,d\tau.
Intuição simples: g é a resposta do sistema a um impulso unitário aplicado no tempo 0; para uma força f(\tau) composta de muitos impulsos infinitesimais, somamos (integramos) as respostas retardadas g(t-\tau) ponderadas por f(\tau). Esse procedimento é equivalente ao método de variação de parâmetros/Duhamel ou ao uso da transformada de Laplace, mas é mais direto para forças por partes.
Vou aplicar isso nos dois itens: achar y_h e g (geralmente são a mesma função quando y_h é tomada com as condições iniciais de interesse) e calcular a integral de convolução, aproveitando que f é constante em blocos para simplificar a integral.
Passo 3
Parte (a): montar as peças básicas.\n
Escrevo a equação homogênea associada:
y''+y=0.
A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=\pm i. Logo a solução geral da homogênea é
y_{\text{gen}}(t)=A\cos t+B\sin t.
Agora aplico as condições iniciais da homogênea que queremos usar: se pegarmos y_h como a solução homogênea que satisfaz y_h(0)=0 e y_h'(0)=1, então
Agora uso explicitamente a forma de f(\tau), que vale 1 para \tau\in[0,\pi/2) e 0 depois. Isso torna a integral fácil porque a integração só ocorre onde f(\tau) é não nula.
Passo 5
Parte (a): calcular a integral de convolução para 0\le t<\pi/2.\n
Se 0\le t<\pi/2, então para todo \tau\in[0,t] temos f(\tau)=1. Assim
\int_0^t\sin u\,du=[- \cos u]_0^t = -\cos t -(-\cos 0)=1-\cos t.
Portanto, para 0\le t<\pi/2,
y(t)=\sin t + (1-\cos t)=1+\sin t-\cos t.
Passo 6
Parte (a): calcular a integral de convolução para t\ge\pi/2.\n
Se t\ge\pi/2, então f(\tau)=1 apenas para \tau\in[0,\pi/2) e f(\tau)=0 para \tau\in[\pi/2,t]. Assim a integral vira
\int_{t-\pi/2}^t\sin u\,du=[-\cos u]_{t-\pi/2}^t=-\cos t -\big(-\cos(t-\tfrac{\pi}{2})\big)=-\cos t+\cos\big(t-\tfrac{\pi}{2}\big).
Uso a identidade \cos\big(t-\tfrac{\pi}{2}\big)=\sin t. Então a integral é -\cos t+\sin t. Assim, para t\ge\pi/2,
y(t)=\sin t +\big(-\cos t+\sin t\big)=2\sin t-\cos t.
Verificação rápida de continuidade em t=\pi/2: para t\to(\pi/2)^- temos 1+\sin(\pi/2)-\cos(\pi/2)=1+1-0=2; para t\to(\pi/2)^+ temos 2\sin(\pi/2)-\cos(\pi/2)=2-0=2. Está contínuo.
Passo 7
Resumo final da parte (a) (antes de passar à parte (b)):\n
Para 0\le t<\pi/2:
y(t)=1+\sin t-\cos t.
Para t\ge\pi/2:
y(t)=2\sin t-\cos t.
Passo 8
Parte (b): montar as peças básicas e achar g(t).\n
Equação homogênea associada:
y''+2y'+2y=0.
A equação característica é r^2+2r+2=0. As raízes são
r=-1\pm i.
Logo a solução geral da homogênea é
y_{\text{gen}}(t)=e^{-t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big).
Queremos a solução homogênea que satisfaça as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1. Primeiro y(0)=C_1=0. Agora a derivada:
y'(t)=\frac{d}{dt}\big[e^{-t}(C_1\cos t + C_2\sin t)\big] = e^{-t}\big((C_2-C_1)\cos t - (C_1+C_2)\sin t\big).
Avaliando em t=0 e usando C_1=0 dá y'(0)=C_2=1. Portanto a solução homogênea com essas condições (que coincide com a função resposta ao impulso g) é
g(t)=e^{-t}\sin t.
Passo 9
Parte (b): escrever a fórmula por convolução.\n
Como no caso anterior, a solução do problema forçado é
y(t)=y_h(t)+\int_0^t g(t-\tau)f(\tau)\,d\tau,
onde y_h(t) é a solução homogênea com as mesmas condições iniciais; mas observe que y_h(t) é justamente g(t) (já escolhida), pois para as condições dadas a solução homogênea é e^{-t}\sin t. Logo
y(t)=e^{-t}\sin t + \int_0^t e^{-(t-\tau)}\sin(t-\tau)\,f(\tau)\,d\tau.
Agora vou avaliar essa integral peça a peça usando a forma de f.
Passo 10
Parte (b): caso 0\le t<\pi.\n
Para 0\le t<\pi temos f(\tau)=0 para todo \tau\in[0,t]. Portanto a integral é zero e
y(t)=e^{-t}\sin t,\qquad 0\le t<\pi.
Passo 11
Parte (b): caso \pi\le t<2\pi.\n
Quando \pi\le t<2\pi, a função f(\tau) é zero em [0,\pi) e vale 2 em [\pi,t]. Assim
y(t)=e^{-t}\sin t + \big(e^{\pi-t}+e^{2\pi-t}\big)\big(\sin t+\cos t\big).
Posso agrupar fator e^{-t} se preferir:
y(t)=e^{-t}\Big[\sin t + \big(e^{\pi}+e^{2\pi}\big)(\sin t+\cos t)\Big].
Isso mostra que para t grandes a solução decai exponencialmente como e^{-t}, como era de esperar já que a força agiu apenas por tempo finito.
Passo 13
Verificações rápidas de continuidade (conforto):\n
Em t=\pi as expressões dos casos 0\le t<\pi e \pi\le t<2\pi coincidem (pode checar substituindo t=\pi).\n
Em t=2\pi as expressões dos casos \pi\le t<2\pi e t\ge2\pi também coincidem (pode checar substituindo t=2\pi).\n
Essas coincidências são esperadas porque a solução do IVP com força por partes é contínua (e derivável) nas fronteiras, já que a força é apenas de salto finito e a equação é de segunda ordem com coeficientes contínuos.