Calcular, utilizando uma região do tipo Dy (Teorema 2), a integral:
I=integral duplaD(x^2+y^2) d A sobre a região D delimitada por x=y^2+1 e x+y=3.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla I=integral duplaD (x^2+y^2),dA sobre a região D limitada pelas curvas x=y^2+1 e x+y=3. O conteúdo é integral dupla do tipo II (região Dy), ou seja, vamos expressar D como y variando entre constantes e x entre funções de y.

Passo 2

Para encontrar os limites em y, resolvemos o sistema das curvas no contorno: y^2+1=3-y. Isso dá
y^2+y-2=0 que fatoriza em (y+2)(y-1)=0, logo as interseções ocorrem em y=-2 e y=1. Assim
yin[-2,,1], xinl[y^2+1,,3-yr]

Passo 3

Montamos então a integral como
I=integraly=-2^1integralx=y^2+1^3-yl(x^2+y^2r),dx,dy

Passo 4

Agora fazemos a integral interna em x. Usando integral x^2,dx=x^3/3 e integral y^2,dx=y^2x, obtemos
integraly^2+1^3-y(x^2+y^2),dx=[(3-y)^33+y^2(3-y)]-[(y^2+1)^33+y^2(y^2+1)] Ao expandir e simplificar, essa expressão vira
f(y)=-tfracy^63-2y^4-tfrac4y^33+4y^2-9y+tfrac263 Logo
I=integral-2^1f(y),dy

Passo 5

Em seguida, integramos termo a termo:
F(y)=-y^721-2y^55-y^43+4y^33-9y^22+26y3, e avaliamos de y=-2 a y=1, obtendo
I=F(1)-F(-2)=260170

Resposta

I=260170.

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