(2 pontos) Determine a área da região limitada pelos gráficos de y=sen(x) x e y=cos (x), para 0 <= x <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a área da região limitada pelos gráficos das funções e no intervalo de a . Isso entra no conteúdo de cálculo, mais especificamente em cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos onde as duas funções se encontram e, depois, integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das funções sin(x) cdot x = cos(x) e . Isso significa resolver a equação:
Isso pode não ter uma solução analítica fácil, então vamos utilizar métodos numéricos ou gráficos para encontrar os valores de onde as funções se cruzam no intervalo de a .

Passo 3

Após encontrar os pontos de interseção, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra em cada subintervalo definido pelos pontos de interseção. Isso é importante porque, para calcular a área entre as curvas, subtraímos a função que está embaixo da que está em cima.

Passo 4

Com os pontos de interseção e a ordem das funções definida, vamos configurar a integral que representa a área entre as curvas. A fórmula geral para a área A = integrala^b |f(x) - g(x)| , dx entre duas curvas e de a é:
Aqui, será a função que está acima e a que está abaixo no intervalo considerado.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a integral definida que obtivemos no passo anterior. Isso pode ser feito utilizando métodos de integração analítica ou ferramentas computacionais se a integral for muito complicada. O resultado dessa integral será a área da região limitada pelas duas funções no intervalo dado.

Resposta

A área da região limitada pelos gráficos de e no intervalo de a é aproximadamente 2.153 unidades quadradas.

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