(Desafio) Sabemos que a série harmônica
sumn=1^infty 1n=1+12+13+cdots diver>=
Considere agora uma modificação da série harmônica obtida omitindo-se todos os termos cujo denominador contenha o dígito 9. Essa série converge ou diverge?

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a série obtida da série harmônica sumn=1^inftytfrac1n omitindo todos os termos cujo denominador contenha o dígito 9. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries infinitas por comparação, e vamos precisar contar quantos números de certa quantidade de dígitos não têm o algarismo 9.

Passo 2

Vamos agrupar os termos da série por quantidade de dígitos de seus denominadores. Para cada k>=1, os números de k dígitos que não contêm o dígito 9 são exatamente 9times9^k-1=9^k (o primeiro algarismo pode ser de 1 a 9 excluindo 9, os demais de 0 a 9 excluindo 9).

Passo 3

Em cada grupo de denominadores com exatamente k dígitos, cada termo é no máximo 1/10^k-1. Logo a soma dos termos desse grupo satisfaz
sumsubstackn tem k dígitosn sem dígito 91n;<=; #números10^k-1;=;9^k10^k-1;=;9l(910r)^k-1ííú

Passo 4

Agora basta somar sobre k=1,2,3,dots e usar que a série geométrica de razão r=9/10<1 converge:
sumk=1^infty 9l(910r)^k-1 ,=, 9cdot11-tfrac910 ,=,90

Passo 5

Como a série modificada é menor do que essa soma finita, pelo teste de comparação ela converge.

Resposta

A série converge (por comparação com uma série geométrica de razão 9/10).

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