(Desafio) Sabemos que a série harmônica
Considere agora uma modificação da série harmônica obtida omitindo-se todos os termos cujo denominador contenha o dígito 9. Essa série converge ou diverge?
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar a série obtida da série harmônica
omitindo todos os termos cujo denominador contenha o dígito 9. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries infinitas por comparação, e vamos precisar contar quantos números de certa quantidade de dígitos não têm o algarismo 9.
Passo 2
Vamos agrupar os termos da série por quantidade de dígitos de seus denominadores. Para cada
, os números de
dígitos que não contêm o dígito 9 são exatamente
(o primeiro algarismo pode ser de 1 a 9 excluindo 9, os demais de 0 a 9 excluindo 9).
Passo 3
Em cada grupo de denominadores com exatamente
dígitos, cada termo é no máximo
. Logo a soma dos termos desse grupo satisfaz
Passo 4
Agora basta somar sobre
e usar que a série geométrica de razão
converge:
Passo 5
Como a série modificada é menor do que essa soma finita, pelo teste de comparação ela converge.
Resposta
A série converge (por comparação com uma série geométrica de razão 9/10).