Quarta Questão ( \mathbf{2 , 5} pontos): Uma determinada seção transversal possui o momento de inércia em relação ao eixo centroidal y igual a I_{\bar{y}}=24 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4} e o produto de inércia em relação aos eixos centroidais x e y I_{\overline{x y}}= -10 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4}. Sabe-se que seu produto de inércia assume valor máximo quando o sistema de coordenadas é rotacionado de 70^{\circ} no sentido anti-horário. Usando o círculo de Mohr, determine o momento de inércia da seção em relação ao eixo centroidal x\left(I_{\bar{x}}\right) e os momentos de inércia principais.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • I_{\bar{y}} = 24 \times 10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
    • I_{\overline{xy}} = -10 \times 10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
    • O produto de inércia I_{x'y'} assume valor máximo quando o sistema de coordenadas é rotacionado de 70^\circ no sentido anti‑horário (isto é, a direção de máximo do produto ocorre para \theta=70^\circ).
  • O que o problema pede:
    1. Determinar o momento de inércia em relação ao eixo centroidal x, isto é I_{\bar{x}}.
    2. Determinar os momentos de inércia principais (os dois valores próprios, geralmente denotados I_1 e I_2).

Passo 2

Fórmulas de transformação (explicação didática e intuitiva).
Quando se rotaciona o sistema de eixos centroidais x,y em um ângulo \theta (positivo no sentido anti‑horário), os momentos de inércia e produtos transformados são dados por fórmulas padrão. Para o produto de inércia transformado I_{x'y'} vale a expressão (aqui todas as grandezas são em relação aos eixos centroidais originais):
I_{x'y'}(\theta) = \frac{I_{\bar{x}} - I_{\bar{y}}}{2}\,\sin(2\theta) + I_{\overline{xy}}\,\cos(2\theta).
O que cada símbolo significa:
  • I_{\bar{x}} e I_{\bar{y}} são os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais originais x e y (ainda que I_{\bar{x}} seja desconhecido aqui).
  • I_{\overline{xy}} é o produto de inércia nos eixos centroidais originais (dado).
  • I_{x'y'}(\theta) é o produto de inércia visto em eixos girados de \theta.
Essa fórmula pode ser obtida a partir das expressões trigonométricas de transformação (não é necessário decorá‑la: na prova, vale lembrar que aparece da relação I_{x'}=I_x\cos^2\theta+I_y\sin^2\theta-2I_{xy}\sin\theta\cos\theta e manipular com identidades duplo‑ângulo).

Passo 3

Condição para extremos de I_{x'y'}(\theta) e equação que relaciona \theta com I_{\bar{x}}.
Para achar onde I_{x'y'}(\theta) é máximo (ou mínimo), derivamos em relação a \theta e igualamos a zero. Diferenciando a expressão do passo anterior:
\frac{dI_{x'y'}}{d\theta} = \frac{I_{\bar{x}}-I_{\bar{y}}}{2}\cdot 2\cos(2\theta) - I_{\overline{xy}}\cdot 2\sin(2\theta).
Igualando a zero (condição de extremo):
\bigl(I_{\bar{x}}-I_{\bar{y}}\bigr)\cos(2\theta) - 2I_{\overline{xy}}\sin(2\theta)=0.
Dividindo por \cos(2\theta) (quando bem definido) obtemos a relação
\tan(2\theta) = \frac{I_{\bar{x}}-I_{\bar{y}}}{2I_{\overline{xy}}}.
Essa fórmula é útil porque relaciona o ângulo \theta do extremo do produto de inércia com os momentos e produto originais. No nosso caso, sabemos \theta=70^\circ, I_{\bar{y}} e I_{\overline{xy}}, assim podemos resolver para I_{\bar{x}}.

Passo 4

Usar \theta=70^\circ para encontrar I_{\bar{x}} (cálculos passo a passo).
Aplique a fórmula do passo anterior:
\tan(2\theta) = \frac{I_{\bar{x}}-I_{\bar{y}}}{2I_{\overline{xy}}}.
Com \theta=70^\circ temos 2\theta = 140^\circ. Note que \tan(140^\circ)=\tan(180^\circ-40^\circ)=-\tan(40^\circ). Usando \tan(40^\circ)\approx 0{,}839099631 obtemos
\tan(140^\circ)\approx -0{,}839099631.
Substituindo os valores conhecidos ( I_{\bar{y}}=24\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4, I_{\overline{xy}}=-10\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4):
-0{,}839099631 = \frac{I_{\bar{x}} - 24\times10^{6}}{2\cdot(-10\times10^{6})}.
Calcule o denominador 2\cdot(-10\times10^{6}) = -20\times10^{6}. Multiplicando ambos os lados por -20\times10^{6}:
I_{\bar{x}} - 24\times10^{6} = (-20\times10^{6})\cdot(-0{,}839099631).
O produto no lado direito é
(-20\times10^{6})\cdot(-0{,}839099631) \approx 16{,}78199262\times10^{6}.
Somando 24\times10^{6}:
I_{\bar{x}} \approx 24\times10^{6} + 16{,}78199262\times10^{6} = 40{,}78199262\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
Arredondando de forma adequada (mantendo três algarismos significativos no resultado final):
I_{\bar{x}} \approx 40{,}782\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 5

Explicação e fórmula para os momentos de inércia principais (Mohr e cálculo direto).
Os momentos de inércia principais ( I_1 e I_2) são os valores próprios da matriz de segundo momento, e correspondem às direções onde o produto de inércia é zero. Pelo círculo (ou pela álgebra), esses valores são dados por:
I_{1,2} = \frac{I_{\bar{x}} + I_{\bar{y}}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{I_{\bar{x}} - I_{\bar{y}}}{2}\right)^{2} + I_{\overline{xy}}^{2}}.
Interpretação dos termos:
  • \dfrac{I_{\bar{x}} + I_{\bar{y}}}{2} é a média dos momentos.
  • O termo sob a raiz é o quadrado do “raio” do círculo de Mohr; a raiz é a metade da diferença entre os dois momentos principais.

Passo 6

Cálculo numérico dos momentos principais (contas passo a passo).
Primeiro calcule a média:
\frac{I_{\bar{x}} + I_{\bar{y}}}{2} = \frac{40{,}78199262\times10^{6} + 24\times10^{6}}{2} = \frac{64{,}78199262\times10^{6}}{2} = 32{,}39099631\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
Depois calcule metade da diferença:
\frac{I_{\bar{x}} - I_{\bar{y}}}{2} = \frac{40{,}78199262\times10^{6} - 24\times10^{6}}{2} = \frac{16{,}78199262\times10^{6}}{2} = 8{,}39099631\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
Agora o termo sob a raiz:
\left(8{,}39099631\times10^{6}\right)^{2} + \left(-10\times10^{6}\right)^{2} = \bigl(8{,}39099631^2 + 10^2\bigr)\times10^{12}.
Numericamente \;8{,}39099631^2 \approx 70{,}39\; (aprox.), então a soma fica aproximadamente 170{,}39\times10^{12}. A raiz é
\sqrt{170{,}39\times10^{12}}\approx 13{,}049\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
Finalmente:
I_1 = 32{,}39099631\times10^{6} + 13{,}049\times10^{6} \approx 45{,}440\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4,
I_2 = 32{,}39099631\times10^{6} - 13{,}049\times10^{6} \approx 19{,}341\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.
Arredondando com consistência:
I_1 \approx 45{,}44\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4,\qquad I_2 \approx 19{,}34\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 7

Resumo rápido (para checar consistência):
  • Encontrou‑se I_{\bar{x}} positivo e maior que I_{\bar{y}}, o que é coerente com o fato de I_{x'y'} ter um máximo para um certo ângulo (sinais e magnitudes batem com as fórmulas).
  • Os dois momentos principais estão acima e abaixo da média, como esperável.

Resposta

I_{\bar{x}} \approx 40{,}782\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4
I_{1} \approx 45{,}440\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4
I_{2} \approx 19{,}341\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4

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