Quarta Questão ( \mathbf{2 , 5} pontos): Uma determinada seção transversal possui o momento de inércia em relação ao eixo centroidal y igual a I_{\bar{y}}=24 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4} e o produto de inércia em relação aos eixos centroidais x e y I_{\overline{x y}}= -10 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4}. Sabe-se que seu produto de inércia assume valor máximo quando o sistema de coordenadas é rotacionado de 70^{\circ} no sentido anti-horário. Usando o círculo de Mohr, determine o momento de inércia da seção em relação ao eixo centroidal x\left(I_{\bar{x}}\right) e os momentos de inércia principais.
O produto de inércia I_{x'y'} assume valor máximo quando o sistema de coordenadas é rotacionado de 70^\circ no sentido anti‑horário (isto é, a direção de máximo do produto ocorre para \theta=70^\circ).
O que o problema pede:
Determinar o momento de inércia em relação ao eixo centroidal x, isto é I_{\bar{x}}.
Determinar os momentos de inércia principais (os dois valores próprios, geralmente denotados I_1 e I_2).
Passo 2
Fórmulas de transformação (explicação didática e intuitiva).
Quando se rotaciona o sistema de eixos centroidais x,y em um ângulo \theta (positivo no sentido anti‑horário), os momentos de inércia e produtos transformados são dados por fórmulas padrão. Para o produto de inércia transformado I_{x'y'} vale a expressão (aqui todas as grandezas são em relação aos eixos centroidais originais):
I_{\bar{x}} e I_{\bar{y}} são os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais originais x e y (ainda que I_{\bar{x}} seja desconhecido aqui).
I_{\overline{xy}} é o produto de inércia nos eixos centroidais originais (dado).
I_{x'y'}(\theta) é o produto de inércia visto em eixos girados de \theta.
Essa fórmula pode ser obtida a partir das expressões trigonométricas de transformação (não é necessário decorá‑la: na prova, vale lembrar que aparece da relação I_{x'}=I_x\cos^2\theta+I_y\sin^2\theta-2I_{xy}\sin\theta\cos\theta e manipular com identidades duplo‑ângulo).
Passo 3
Condição para extremos de I_{x'y'}(\theta) e equação que relaciona \theta com I_{\bar{x}}.
Para achar onde I_{x'y'}(\theta) é máximo (ou mínimo), derivamos em relação a \theta e igualamos a zero. Diferenciando a expressão do passo anterior:
Essa fórmula é útil porque relaciona o ângulo \theta do extremo do produto de inércia com os momentos e produto originais. No nosso caso, sabemos \theta=70^\circ, I_{\bar{y}} e I_{\overline{xy}}, assim podemos resolver para I_{\bar{x}}.
Passo 4
Usar \theta=70^\circ para encontrar I_{\bar{x}} (cálculos passo a passo).
Explicação e fórmula para os momentos de inércia principais (Mohr e cálculo direto).
Os momentos de inércia principais (I_1 e I_2) são os valores próprios da matriz de segundo momento, e correspondem às direções onde o produto de inércia é zero. Pelo círculo (ou pela álgebra), esses valores são dados por:
Encontrou‑se I_{\bar{x}} positivo e maior que I_{\bar{y}}, o que é coerente com o fato de I_{x'y'} ter um máximo para um certo ângulo (sinais e magnitudes batem com as fórmulas).
Os dois momentos principais estão acima e abaixo da média, como esperável.