Calcular o valor de a para que a função dada seja contínua em (0,0) :
f(x, y) = { (x - y + 2 raiz(x) - 2 raiz(y)) / (raiz(x) - raiz(y)), (x, y) ≠ (0, 0) ; a - 4, (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . A matéria envolvida aqui é o conceito de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e garantir que esse limite seja igual ao valor da função em , que é .

Passo 2

Vamos começar calculando o limite de quando tende para . A função é dada por:
Para simplificar essa expressão, podemos fatorar o numerador. Observamos que:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de :
Então, o limite de quando vai para é 2.

Passo 4

Para a função ser contínua em , o valor da função nesse ponto deve ser igual ao limite que acabamos de calcular. Ou seja:

Passo 5

Agora, basta resolver a equação para encontrar :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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