A temperatura em um ponto de uma placa plana de metal é dada por , onde é medido em e em metros. Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em (b) a direção do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a temperatura em um ponto de uma placa de metal, dada pela função . A gente precisa encontrar a taxa de variação dessa temperatura em relação à distância na direção do eixo no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa "taxa de variação da temperatura na direção do eixo ". Basicamente, queremos saber como a temperatura muda se a gente se move na direção do , mantendo o constante. Isso é dado pela derivada parcial de em relação a .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A função é . Para derivar em relação a , tratamos como uma constante.
A derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto específico . Substituímos e na expressão que encontramos:
Resposta
A taxa de variação da temperatura na direção do eixo y no ponto é .