A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa plana de metal é dada por T(x, y) = 60 / (1 + x^2 + y^2), onde T é medido em ° C e x, y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em (b) a direção do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal, dada pela função . A gente precisa encontrar a taxa de variação dessa temperatura em relação à distância na direção do eixo y no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa "taxa de variação da temperatura na direção do eixo y". Basicamente, queremos saber como a temperatura muda se a gente se move na direção do y, mantendo o x constante. Isso é dado pela derivada parcial de T em relação a y.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de T em relação a y. A função é . Para derivar em relação a y, tratamos x como uma constante.
A derivada de em relação a u é , então aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto específico . Substituímos x = 2 e na expressão que encontramos:

Resposta

A taxa de variação da temperatura na direção do eixo y no ponto é .

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