Calcular o valor de l=8 I, onde
I=\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{arccos} \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} d x
Resposta:
(1) l=\pi^{2},
(2) l=-2 \pi^{2},
(3) l=2 \pi^{2}, (4) l=-4 \pi^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{0}^{1} \frac{\operatorname{arccos}\!\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx
e em seguida encontrar
l = 8\,I.
O conteúdo principal aqui é fazer uma substituição trigonométrica apropriada para transformar a integral numa forma simples de avaliar.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \cos^{2}\theta,
portanto \sqrt{x}=\cos\theta e \sqrt{1-x}=\sin\theta.
Quando x vai de 0 a 1, \theta vai de \pi/2 a 0.
Além disso,
dx = -2\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta = -\sin(2\theta)\,d\theta,
e
\operatorname{arccos}\!\sqrt{x} = \operatorname{arccos}(\cos\theta) = \theta.

Passo 3

Substituindo tudo na integral,
I = \int_{0}^{1} \frac{\operatorname{arccos}\!\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\,dx = \int_{\pi/2}^{0} \frac{\theta}{\cos\theta\,\sin\theta}\,\bigl(-\sin(2\theta)\bigr)\,d\theta.
Como \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, o fator
\frac{-\sin(2\theta)}{\cos\theta\,\sin\theta} simplifica para -2.
Logo
I = \int_{\pi/2}^{0} \theta\,(-2)\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi/2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Calculamos a integral de \theta:
2\int_{0}^{\pi/2}\theta\,d\theta =2\left[\frac{\theta^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi/2} =\bigl(\pi/2\bigr)^{2} =\frac{\pi^{2}}{4}.
Portanto
I = \frac{\pi^{2}}{4}.

Passo 5

Finalmente,
l = 8\,I = 8\cdot\frac{\pi^{2}}{4} = 2\pi^{2}.

Resposta

(3) 2\pi^{2}

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