Calcule a integral
I=\int_{0}^{\pi / 4} x \sin (2 x) d x
Resposta: (1) I=1 / 2, (2) I=-1 / 2, (3) I=-1 / 4, (4) I=1 / 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int_{0}^{\pi/4} x \sin(2x)\,dx
O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes, pois temos um produto x e \sin(2x).

Passo 2

Escolhemos as funções para partes assim:
u = x, logo du = dx
dv = \sin(2x)\,dx, logo
v = \int \sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x).
Pela fórmula de partes,
I = \bigl[u\,v\bigr]_{0}^{\pi/4} - \int_{0}^{\pi/4} v\,du = \Bigl[-\tfrac{x}{2}\cos(2x)\Bigr]_{0}^{\pi/4} - \int_{0}^{\pi/4}\Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\Bigr)\,dx.

Passo 3

Avaliaremos primeiro o termo de contorno:
\Bigl[-\tfrac{x}{2}\cos(2x)\Bigr]_{0}^{\pi/4} = -\tfrac{\pi/4}{2}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \bigl(-0\cdot\tfrac{1}{2}\cos0\bigr) = -\tfrac{\pi}{8}\cdot 0 - 0 = 0.
Então
I = 0 + \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\cos(2x)\,dx.

Passo 4

Agora calculemos
\int_{0}^{\pi/4}\cos(2x)\,dx = \bigl[\tfrac{1}{2}\sin(2x)\bigr]_{0}^{\pi/4} = \tfrac{1}{2}\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2}) - \sin0\bigr) = \tfrac{1}{2}\cdot1 = \tfrac{1}{2}.
Portanto
I = \tfrac{1}{2}\times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}.

Resposta

A alternativa correta é a ( 4) I = \tfrac{1}{4}.

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