Calcule a integral
I=\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{e^{x}-1}}
Resposta: (1) I=\pi / 2, (2) I=2 \pi, (3) I=-2 \pi, (4) I=\pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{e^{x}-1}}.
O conteúdo envolvido é transformação de variáveis para reduzir a uma integral Beta.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{-x}, \quad dx = -\frac{du}{u}.
Quando x=0 temos u=1 e, quando x\to\infty, u\to0. Além disso,
e^{x} = \frac1u \quad\Rightarrow\quad e^{x}-1 = \frac{1-u}{u},
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\frac1{\sqrt{e^{x}-1}} = \frac1{\sqrt{\frac{1-u}{u}}} = \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{1-u}}.
Substituindo na integral,
I = \int_{x=0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{e^{x}-1}} = \int_{u=1}^{0}\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{1-u}}\, \Bigl(-\frac{du}{u}\Bigr) = \int_{0}^{1}u^{-\tfrac12}(1-u)^{-\tfrac12}\,du.

Passo 3

Reconhecemos a integral como a função Beta:
\int_{0}^{1}u^{a-1}(1-u)^{b-1}\,du = B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.
Aqui a = \tfrac12 e b = \tfrac12, então
I = B\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr).

Passo 4

Usando \Gamma(\tfrac12)=\sqrt{\pi} e \Gamma(1)=1, obtemos
B\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr) = \frac{\Gamma(\tfrac12)\,\Gamma(\tfrac12)}{\Gamma(1)} = \frac{\bigl(\sqrt{\pi}\bigr)\bigl(\sqrt{\pi}\bigr)}{1} = \pi.

Resposta

(4) I = \pi

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