1. Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:
a) r:\left\{\begin{array}{l}x=-3 t \\\ y=3+t \\\ z=4\end{array} \quad\right. e \quad s: \frac{x+5}{6}=\frac{y-1}{m} ; z=6

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e pede o(s) valor(es) de m para que elas sejam paralelas. Informações fornecidas:
  • Reta r dada em forma paramétrica:
x=-3t,\qquad y=3+t,\qquad z=4.
  • Reta s dada em forma simétrica (com restrição em z):
\frac{x+5}{6}=\frac{y-1}{m},\qquad z=6.
  • Pedido: calcular m tal que r e s sejam paralelas.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): duas retas no espaço são paralelas quando seus vetores diretores são paralelos. Dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} são paralelos quando existe um escalar k tal que
\mathbf{v}=k\,\mathbf{u}.
Isto quer dizer que cada componente de \mathbf{v} é k vezes a componente correspondente de \mathbf{u}. Outra forma equivalente é verificar que o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}, mas usar a proporcionalidade componente a componente costuma ser mais direto em exercícios de prova.
Também é importante saber como extrair o vetor diretor de cada forma:
  • Se a reta está em forma paramétrica x=a+u t,\;y=b+v t,\;z=c+w t, então o vetor diretor é (u,v,w).
  • Se a reta está em forma simétrica \dfrac{x-x_0}{u}=\dfrac{y-y_0}{v}=\dfrac{z-z_0}{w}, então o vetor diretor é (u,v,w). Se uma das frações não aparece (por exemplo z dado isoladamente), entende-se que a componente correspondente do vetor diretor é zero.

Passo 3

Vamos extrair os vetores diretores das retas dadas, obedecendo as regras acima.
  • Para r, a forma paramétrica é x=-3t,\;y=3+t,\;z=4. Comparando com x=a+u t,\;y=b+v t,\;z=c+w t vemos que o vetor diretor de r é
\mathbf{v}_r=(-3,\,1,\,0).
(Explicação: a componente em x é o coeficiente de t, que é -3; em y é 1; em z não aparece t, logo é 0.)
  • Para s, igualamos a expressão simétrica a um parâmetro u:
\frac{x+5}{6}=\frac{y-1}{m}=u.
Assim
x=-5+6u,\qquad y=1+mu,\qquad z=6.
Portanto o vetor diretor de s é
\mathbf{v}_s=(6,\,m,\,0).

Passo 4

Impor a condição de paralelismo: existe k tal que \mathbf{v}_s=k\,\mathbf{v}_r. Escrevendo componente a componente:
(6,\,m,\,0)=k(-3,\,1,\,0).
Das componentes obtemos o sistema
6=-3k,\qquad m=1\cdot k,\qquad 0=0\cdot k.
Da primeira equação vem
k=-2.
Substituindo na segunda equação obtemos
m=k=-2.
A terceira equação é 0=0, que é satisfeita e não impõe restrição adicional.

Passo 5

Verificação e observação final (útil para prova): com m=-2 os vetores diretores ficam \mathbf{v}_r=(-3,1,0) e \mathbf{v}_s=(6,-2,0)=-2(-3,1,0), isto é, realmente proporcionais. Note que r tem z=4 e s tem z=6, portanto as retas são paralelas e distintas (estão em planos horizontais diferentes); isto confirma que não são coincidentes, apenas paralelas.

Resposta

m=-2

Exercícios relacionados