- Seja
matrizes simétricas semidefinidas positivas. Prove que
onde
denota o produto interno de Frobenius.Determine quando ocorre igualdade. (Esta desigualdade é uma generalização da Desigualdade M.A.-M.G. que diz:
Com igualdade se, e somente se,
)
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes
que são simétricas semidefinidas positivas. Pede para provar a desigualdade
onde
é o produto interno de Frobenius, e em seguida determinar quando ocorre igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
-
e são simétricas semidefinidas positivas (logo têm autovalores reais e não-negativos). -
. Como são simétricas, . - É preciso provar a desigualdade envolvendo determinantes e a trace (produto interno) e achar as condições de igualdade.
Passo 2
Construir a raiz quadrada de
e usar uma transformação conveniente.
Fato usado (sem provas detalhadas aqui, mas intuitivamente simples): se
é simétrica semidefinida positiva então existe uma matriz simétrica semidefinida positiva
tal que
Essa matriz é obtida diagonalizando
pela forma espectral e tomando raízes quadradas dos autovalores não-negativos. Além disso,
é invertível se, e somente se,
for definida positiva (todos os autovalores estritamente positivos).
Agora considere a matriz
Observe que
é simétrica e semidefinida positiva, porque para todo vetor
vale
(já que
é semidefinida positiva).
Passo 3
Relacionar o determinante que queremos com o determinante de
.
Usamos a multiplicatividade do determinante e o fato de que
:
Portanto a quantidade do lado esquerdo da desigualdade pedida é exatamente
.
Passo 4
Expressar
e
em termos dos autovalores de
.
Pelo teorema espectral,
é diagonalizável em uma base ortonormal com autovalores reais não-negativos. Seja
os autovalores de
(contados com multiplicidade). Então, por definções:
Além disso, pela propriedade cíclica da trace,
Assim podemos reescrever a desigualdade desejada inteiramente em termos dos
:
queremos mostrar
queremos mostrar
Passo 5
Aplicar a desigualdade A.M.–G.M. aos autovalores
.
Lembrando a desigualdade A.M.–G.M.: para números não-negativos
vale
com igualdade se, e somente se,
.
Aplicando essa desigualdade aos
obtemos
Elevando ambos os lados à potência
temos
Substituindo de volta
e
, obtemos precisamente
o que prova a desigualdade.
Passo 6
Determinar quando ocorre igualdade.
A igualdade na A.M.–G.M. ocorre se, e somente se, todos os termos são iguais:
. Portanto igualdade na desigualdade pedida equivale a todas as autovalores de
serem iguais.
Dois casos surgem:
- Caso não degenerado (
para todo ). Então . Multiplicando à esquerda e à direita por (permitido porque é invertível neste caso, isto é, é definida positiva), obtém-se
Assim, se
é definida positiva, a igualdade ocorre se, e somente se,
é um múltiplo escalar positivo de
. O escalar
é dado por
- Caso degenerado (
para todo ). Isto significa , logo e consequentemente . Neste caso LHS e RHS são ambos zero (pois implica RHS ), e a desigualdade é de fato igualdade. A condição equivale a
ou seja,
anula a imagem de
(a imagem de
). Em particular, se uma das matrizes é singular de modo que product-of-determinants
e
, tem-se igualdade.
Observação final: não existe outro tipo de igualdade: se alguns
forem zero e outros positivos então não há igualdade na A.M.–G.M., porque aí os
não são todos iguais; portanto os únicos casos de igualdade são os descritos acima.
Resposta
Igualdade ocorre exatamente nos seguintes casos:
- ou
é definida positiva e (isto é, é um múltiplo escalar de ); - ou
(o que implica e ).