e vetores ortonormais v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} \in H tais que
T\left(v_{i}\right)=\lambda_{i} v_{i}, \quad i=1, \ldots, n .
Conclua que, para todo x \in H,
x=\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, v_{i}\right\rangle v_{i}
e
T(x)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left\langle x, v_{i}\right\rangle v_{i} .
Além disso, prove a identidade de Parseval:
\|x\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left|\left\langle x, v_{i}\right\rangle\right|^{2}, \quad \forall x \in H .
Por fim, mostre que, se S=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}, então S é uma base ortonormal de H.

Passo 1

O que nos é dado e o que devemos provar.
  • Dados:
    • H é um espaço com produto interno (e \dim H = n; a questão fornece n vetores).
    • Existem vetores ortonormais v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\in H.
    • Para cada i=1,\dots,n vale T(v_{i})=\lambda_{i}v_{i}, onde T é uma aplicação linear em H e \lambda_{i} são escalares (autovalores).
  • Pedidos (o que devemos concluir/provar):
    1. Para todo x\in H mostrar que x=\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, v_{i}\right\rangle v_{i}.
    2. Mostrar que para todo x\in H T(x)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\left\langle x, v_{i}\right\rangle v_{i}.
    3. Provar a identidade de Parseval \|x\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left|\left\langle x, v_{i}\right\rangle\right|^{2},\quad\forall x\in H.
    4. Mostrar que S=\{v_{1},\dots,v_{n}\} é uma base ortonormal de H.
Nota rápida sobre notação: \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno em H; \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle.

Passo 2

Provar que os vetores v_{1},\dots,v_{n} são linearmente independentes.
  • Lembrete didático: um conjunto ortonormal (nenhum vetor nulo e todos mutuamente ortogonais, com norma 1) é sempre linearmente independente. Vou mostrar isso de forma direta.
  • Prova: suponha que existam escalares \alpha_{1},\dots,\alpha_{n} tais que \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}=0.Tomando produto interno com um dos vetores v_{j} (fixe j\in\{1,\dots,n\}) temos \left\langle \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}, v_{j}\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle.Como os v_{i} são ortonormais, \langle v_{i},v_{j}\rangle=0 se i\ne j e =1 se i=j. Portanto \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle=\alpha_{j}.Como o lado esquerdo é \langle 0,v_{j}\rangle=0, obtemos \alpha_{j}=0. Isso vale para todo j, logo todos os \alpha_{j} são zero e o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

Concluir que S=\{v_{1},\dots,v_{n}\} é uma base ortonormal de H.
  • Explicação lógica: num espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes é uma base (porque a dimensão é o tamanho máximo de um conjunto independente). Já provamos que os v_{i} são independentes e são n vetores, logo they span H.
  • Conclusão: S é uma base de H. Como além disso os vetores são ortonormais por hipótese, S é uma base ortonormal de H.

Passo 4

Mostrar a fórmula de expansão x=\sum_{i=1}^{n}\langle x,v_{i}\rangle v_{i} para todo x\in H.
  • Ideia didática: toda base permite escrever um vetor x como combinação linear única dos vetores da base. Precisamos identificar explicitamente os coeficientes dessa combinação.
  • Como S é base, existe uma única escolha de escalares c_{1},\dots,c_{n} tal que x=\sum_{i=1}^{n}c_{i}v_{i}.
  • Para encontrar c_{j} tome produto interno com v_{j}: \left\langle x, v_{j}\right\rangle =\left\langle \sum_{i=1}^{n}c_{i}v_{i},v_{j}\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}c_{i}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =c_{j},onde no último passo usamos a ortonormalidade ( \langle v_{i},v_{j}\rangle=\delta_{ij}). Logo c_{j}=\left\langle x, v_{j}\right\rangle.
  • Substituindo todos os coeficientes obtemos a expansão desejada: x=\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, v_{i}\right\rangle v_{i}.
Comentário amigo: essa é a fórmula de projeção ortogonal de x sobre a base ortonormal — na prática, para achar as coordenadas de x na base ortonormal basta calcular produtos internos.

Passo 5

Derivar a fórmula para T(x).
  • Usamos linearidade de T e a relação T(v_{i})=\lambda_{i}v_{i}.
  • Começando de x=\sum_{i=1}^{n}\langle x,v_{i}\rangle v_{i} aplicamos T: T(x)=T\!\left(\sum_{i=1}^{n}\left\langle x,v_{i}\right\rangle v_{i}\right) =\sum_{i=1}^{n}\left\langle x,v_{i}\right\rangle T(v_{i}) =\sum_{i=1}^{n}\left\langle x,v_{i}\right\rangle \lambda_{i}v_{i}.
  • Reorganizando, T(x)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\left\langle x,v_{i}\right\rangle v_{i}.
Breve comentário: esse é um modo compacto de ver que a matriz de T na base ortonormal S é diagonal com entradas \lambda_{1},\dots,\lambda_{n}.

Passo 6

Provar a identidade de Parseval
\|x\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left|\left\langle x, v_{i}\right\rangle\right|^{2}.
  • Começamos escrevendo x pela expansão da Passo 4: x=\sum_{i=1}^{n}c_{i}v_{i},\quad\text{onde }c_{i}=\left\langle x,v_{i}\right\rangle.
  • Calcule \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle: \|x\|^{2}=\left\langle \sum_{i=1}^{n}c_{i}v_{i},\sum_{j=1}^{n}c_{j}v_{j}\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}c_{i}\overline{c_{j}}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle.
  • Usando ortonormalidade \langle v_{i},v_{j}\rangle=\delta_{ij} (delta de Kronecker), somente os termos com i=j sobrevivem: \|x\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}c_{i}\overline{c_{i}}=\sum_{i=1}^{n}|c_{i}|^{2}.
  • Substituindo c_{i}=\langle x,v_{i}\rangle obtemos \|x\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left|\left\langle x,v_{i}\right\rangle\right|^{2},que é exatamente a identidade de Parseval.
Observação prática: em coordenadas reais isso diz que a soma dos quadrados das coordenadas é a norma ao quadrado; em complexo é a soma dos módulos ao quadrado.

Resposta

x=\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, v_{i}\right\rangle v_{i}
T(x)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\left\langle x, v_{i}\right\rangle v_{i}
\|x\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left|\left\langle x, v_{i}\right\rangle\right|^{2}
S=\{v_{1},\dots,v_{n}\} é uma base ortonormal de H.

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