e vetores ortonormais
tais que
Conclua que, para todo
,
e
Além disso, prove a identidade de Parseval:
Por fim, mostre que, se
, então
é uma base ortonormal de
.
Passo 1
O que nos é dado e o que devemos provar.
- Dados:
-
é um espaço com produto interno (e ; a questão fornece vetores). - Existem vetores ortonormais
. - Para cada
vale , onde é uma aplicação linear em e são escalares (autovalores).
-
- Pedidos (o que devemos concluir/provar):
- Para todo
mostrar que - Mostrar que para todo
- Provar a identidade de Parseval
- Mostrar que
é uma base ortonormal de .
- Para todo
Nota rápida sobre notação:
é o produto interno em
;
.
Passo 2
Provar que os vetores
são linearmente independentes.
- Lembrete didático: um conjunto ortonormal (nenhum vetor nulo e todos mutuamente ortogonais, com norma 1) é sempre linearmente independente. Vou mostrar isso de forma direta.
- Prova: suponha que existam escalares
tais que Tomando produto interno com um dos vetores (fixe ) temos Como os são ortonormais, se e se . Portanto Como o lado esquerdo é , obtemos . Isso vale para todo , logo todos os são zero e o conjunto é linearmente independente.
Passo 3
Concluir que
é uma base ortonormal de
.
- Explicação lógica: num espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto de vetores linearmente independentes é uma base (porque a dimensão é o tamanho máximo de um conjunto independente). Já provamos que os são independentes e são vetores, logo they span . - Conclusão:
é uma base de . Como além disso os vetores são ortonormais por hipótese, é uma base ortonormal de .
Passo 4
Mostrar a fórmula de expansão
para todo
.
- Ideia didática: toda base permite escrever um vetor
como combinação linear única dos vetores da base. Precisamos identificar explicitamente os coeficientes dessa combinação. - Como
é base, existe uma única escolha de escalares tal que - Para encontrar
tome produto interno com : onde no último passo usamos a ortonormalidade ( ). Logo - Substituindo todos os coeficientes obtemos a expansão desejada:
Comentário amigo: essa é a fórmula de projeção ortogonal de
sobre a base ortonormal — na prática, para achar as coordenadas de
na base ortonormal basta calcular produtos internos.
Passo 5
Derivar a fórmula para
.
- Usamos linearidade de
e a relação . - Começando de
aplicamos : - Reorganizando,
Breve comentário: esse é um modo compacto de ver que a matriz de
na base ortonormal
é diagonal com entradas
.
Passo 6
Provar a identidade de Parseval
- Começamos escrevendo
pela expansão da Passo 4: - Calcule
: - Usando ortonormalidade
(delta de Kronecker), somente os termos com sobrevivem: - Substituindo
obtemos que é exatamente a identidade de Parseval.
Observação prática: em coordenadas reais isso diz que a soma dos quadrados das coordenadas é a norma ao quadrado; em complexo é a soma dos módulos ao quadrado.