Calcular os valores de me n para que a reta r esteja contida no plano pi :
a) r: x=2-2 t, y=-1-t, z=3 e pi: 2 m x-n y-z+4=0
b) r:(x, y, z)=t(2, m, n)+(n, 2,0) e pi: x-3 y+z=1

Passo 1

O enunciado pede, para cada item, encontrar os valores de m e n tais que a reta r fique inteiramente contida no plano pi. Para isso precisamos usar duas condições:
  1. O vetor direção de r deve ser ortogonal ao vetor normal de pi.
  2. Um ponto qualquer de r deve satisfazer a equação de pi.

Passo 2

(a) Identificamos na reta
r: x=2-2t,;y=-1-t,;z=3
o ponto P0=(2,-1,3) (obtido em t=0) e o vetor direção
vec v =(-2,,-1,,0)
O plano
pi:;2m x - n y - z +4=0
tem vetor normal vec N=(2m,,-n,,-1).

Passo 3

Impondo vec Ncdotvec v=0 (ortogonalidade), vem
(2m)cdot(-2)+(-n)cdot(-1)+(-1)cdot0=0
-4m + n = 0

Passo 4

Impondo que P0 satisfaça a equação do plano, substituímos x=2, y=-1, z=3:
2mcdot2 - ncdot(-1) - 3 + 4 = 0
4m + n +1 = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema
-4m + n = 0, 4m + n +1 = 0,
subtraindo a primeira da segunda:
(4m+n+1)-(-4m+n)=0-0 ;Longrightarrow;8m+1=0 ;Longrightarrow;m=-tfrac18,
e então n=4m=-tfrac12.

Passo 6

(b) A reta está dada por
r:;(x,y,z)=t(2,m,n)+(n,2,0),
logo o ponto inicial é P0=(n,2,0) e o vetor direção é vec v=(2,m,n). O plano
pi:;x-3y+z=1
tem vetor normal vec N=(1,-3,1).

Passo 7

Ortogonalidade entre vec v e vec N implica
1cdot2 +(-3)cdot m +1cdot n = 0
2 -3m + n = 0
E a condição de P0 no plano dá
n - 3cdot2 + 0 = 1 ;Longrightarrow;n -6 =1 ;Longrightarrow;n=7

Passo 8

Substituindo n=7 em 2-3m+n=0 resulta
2 -3m +7 = 0 ;Longrightarrow;9 -3m=0 ;Longrightarrow;m=3

Resposta

a) m=-tfrac18, n=-tfrac12
b) m=3, n=7

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