Classifique como verdadeiro ou falso, prove se for verdadeiro e dê um contra-exemplo se for falso.
a) (1,0)- Se A3 times 5 é a matriz aumentada de um sistema, então o sistema tem infinitas soluções.
b) (1,0) - Se X1 é solução de A X=b e X2 é solução de A X=0, então X1+3 X2 é solução de A X=b.

Passo 1

O enunciado traz duas afirmações sobre sistemas lineares. Na (a) temos uma matriz aumentada A de tamanho 3times5, ou seja, 3 equações e 4 incógnitas; afirma-se que o sistema sempre tem infinitas soluções. Na (b) diz-se que, se ,X1 satisfaz A X=b e ,X2 satisfaz A X=0, então ,X1+3X2 satisfaz A X=b. O conteúdo é teoria de sistemas lineares: consistência, número de soluções e linearidade de transformações.

Passo 2

Para a afirmação (a) lembre que uma matriz aumentada 3times5 corresponde a um sistema com 4 incógnitas e 3 equações. Em geral, se o sistema for consistente (ou seja, existir pelo menos uma solução), então há pelo menos 4-3=1 parâmetro livre e, portanto, infinitas soluções. Mas um sistema com menos equações do que incógnitas pode também ser inconsistente (nenhuma solução), pois as equações podem entrar em contradição.

Passo 3

Como contra-exemplo, considere o sistema cujas equações são
x1=0, x1=1, 0=0,
cuja matriz aumentada é
1 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Não existe x1 que satisfaz simultaneamente x1=0 e x1=1, logo o sistema é inconsistente e não tem solução alguma.

Passo 4

Portanto a afirmação (a) é falsa: um sistema com matriz aumentada 3times5 pode não ter soluções, e não “sempre” ter infinitas soluções.

Passo 5

Para a afirmação (b), use a linearidade de A. Sabendo que
A X1=b e A X2=0,
temos
Al(X1+3X2r) = A X1 + 3,A X2 = b + 3cdot 0 = b
Logo X1+3X2 realmente satisfaz A X=b.

Passo 6

Concluímos que (b) é verdadeira, pois decorre diretamente da propriedade distributiva do produto matricial sobre soma e multiplicação escalar.

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira

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