Classifique como verdadeiro ou falso, prove se for verdadeiro e dê um contra-exemplo se for falso.
a) (1,0)- Se é a matriz aumentada de um sistema, então o sistema tem infinitas soluções.
b) - Se é solução de e é solução de , então é solução de .
Passo 1
O enunciado traz duas afirmações sobre sistemas lineares. Na (a) temos uma matriz aumentada de tamanho , ou seja, equações e incógnitas; afirma-se que o sistema sempre tem infinitas soluções. Na (b) diz-se que, se satisfaz e satisfaz , então satisfaz . O conteúdo é teoria de sistemas lineares: consistência, número de soluções e linearidade de transformações.
Passo 2
Para a afirmação (a) lembre que uma matriz aumentada corresponde a um sistema com incógnitas e equações. Em geral, se o sistema for consistente (ou seja, existir pelo menos uma solução), então há pelo menos parâmetro livre e, portanto, infinitas soluções. Mas um sistema com menos equações do que incógnitas pode também ser inconsistente (nenhuma solução), pois as equações podem entrar em contradição.
Passo 3
Como contra-exemplo, considere o sistema cujas equações são
cuja matriz aumentada é
Não existe x1 que satisfaz simultaneamente x1=0 e x1=1, logo o sistema é inconsistente e não tem solução alguma.
Passo 4
Portanto a afirmação (a) é falsa: um sistema com matriz aumentada 3times5 pode não ter soluções, e não “sempre” ter infinitas soluções.
Passo 5
Para a afirmação (b), use a linearidade de A. Sabendo que
A X1=b e A X2=0,
temos
Al(X1+3X2r) = A X1 + 3,A X2 = b + 3cdot 0 = b
Logo X1+3X2 realmente satisfaz A X=b.
Passo 6
Concluímos que (b) é verdadeira, pois decorre diretamente da propriedade distributiva do produto matricial sobre soma e multiplicação escalar.