Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}3 & 3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 8 & 6 & -5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz
\mathrm{A}=\begin{pmatrix} 3 & 3 & -2\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 8 & 6 & -5 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico \det(\mathrm{A}-\lambda I) e, em seguida, achar a base do espaço próprio resolvendo (\mathrm{A}-\lambda I)x=0.

Passo 2

Vamos montar \mathrm{A}-\lambda I e calcular
\det(\mathrm{A}-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 3 & -2\\\\ 0 & -1-\lambda & 0\\\\ 8 & 6 & -5-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\det(\mathrm{A}-\lambda I) =(3-\lambda)\,[(\\ -1-\lambda)(-5-\lambda)-0\cdot6] -3\,[0\cdot(-5-\lambda)-0\cdot8] -2\,[0\cdot6-(-1-\lambda)\cdot8].
Isso dá
(3-\lambda)(\lambda^2+6\lambda+5)\;-\;2\,(8+8\lambda).

Passo 3

Expandindo e simplificando:
(3-\lambda)(\lambda^2+6\lambda+5) = -\lambda^3-3\lambda^2+13\lambda+15,
-2\,(8+8\lambda)=-16-16\lambda,
logo
\det(\mathrm{A}-\lambda I) =-\lambda^3-3\lambda^2+13\lambda+15-16-16\lambda =-(\lambda^3+3\lambda^2+3\lambda+1) =-(\lambda+1)^3.
Portanto o único autovalor é \lambda=-1 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Para achar o espaço próprio associado a \lambda=-1, resolvemos
(\mathrm{A}+I)x=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 4 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 8 & 6 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
As duas equações não nulas são equivalentes a
4x+3y-2z=0.
Tomando y e z como parâmetros s e t, obtemos
x=-\tfrac{3}{4}s+\tfrac{1}{2}t,\quad y=s,\quad z=t.
Dessa forma o espaço próprio tem dimensão 2, e uma base conveniente é dada por
v_1=\begin{pmatrix}-3\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix},
pois para s=4,t=0 vem x=-3,y=4,z=0 e para s=0,t=2 vem x=1,y=0,z=2.

Resposta

O autovalor é \lambda=-1 (multiplicidade 3) e o espaço próprio é
\mathrm{span}\Bigl\{\,( -3,\,4,\,0)^\mathsf{T},\;(1,\,0,\,2)^\mathsf{T}\Bigr\}.

Exercícios relacionados