Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz
O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico
e, em seguida, achar a base do espaço próprio resolvendo
.
Passo 2
Vamos montar
e calcular
Expandindo pela primeira linha:
Isso dá
Passo 3
Expandindo e simplificando:
logo
Portanto o único autovalor é
com multiplicidade algébrica 3.
Passo 4
Para achar o espaço próprio associado a
, resolvemos
As duas equações não nulas são equivalentes a
Tomando
e
como parâmetros
e
, obtemos
Dessa forma o espaço próprio tem dimensão 2, e uma base conveniente é dada por
pois para
vem
e para
vem
.
Resposta
O autovalor é
(multiplicidade 3) e o espaço próprio é