Resolva a equação L \frac{d I}{d t}+R I=E \operatorname{sen}(w t) onde L, R, E e w são constantes e I é uma função de t. (Esta função dá a corrente em um circuito de resistência R e indutância L impulsionada por um gerador de corrente alternada de freqüência \frac{w}{2 \pi} e voltagem máxima \left.E\right).

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação linear de primeira ordem
L \frac{dI}{dt} + R I = E \sin(wt)
onde L,R,E,w são constantes e I(t) é a incógnita. Vamos usar o método de resolver primeiro a parte homogênea e depois achar uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
L \frac{dI_h}{dt} + R I_h = 0.
Separamos variáveis:
\frac{dI_h}{I_h} = -\frac{R}{L}\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|I_h| = -\frac{R}{L}\,t + C_1 \quad\Longrightarrow\quad I_h(t) = C\,e^{-\,\tfrac{R}{L}t},
onde C é uma constante de integração.

Passo 3

Para a solução particular, como o forçamento é E\sin(wt), fazemos a “chute”
I_p(t) = A\sin(wt) + B\cos(wt).
Então
\frac{dI_p}{dt} = A\,w\cos(wt) - B\,w\sin(wt).
Substituindo em L\,dI/dt + R I = E\sin(wt) e agrupando coeficientes de \sin e \cos, obtemos o sistema
\begin{cases} -\,Lw\,B + R\,A = E,\\\ Lw\,A + R\,B = 0. \end{cases}
Resolvendo, chega-se a
A = \frac{E\,R}{L^2 w^2 + R^2}, \qquad B = -\,\frac{E\,L\,w}{L^2 w^2 + R^2}.

Passo 4

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
I(t) = I_h(t) + I_p(t) = C\,e^{-\,\tfrac{R}{L}t} + \frac{E\,R}{L^2 w^2 + R^2}\,\sin(wt) - \frac{E\,L\,w}{L^2 w^2 + R^2}\,\cos(wt).

Passo 5

Para ficar no formato usual de regime permanente, podemos reescrever a parte forçada em forma fasorial:
I_p(t) = \frac{E}{\sqrt{R^2 + L^2 w^2}} \,\sin\bigl(wt - \varphi\bigr), \qquad \varphi = \arctan\!\bigl(\tfrac{L\,w}{R}\bigr).
Então a solução completa fica
I(t) = C\,e^{-\,\tfrac{R}{L}t} + \frac{E}{\sqrt{R^2 + L^2 w^2}} \,\sin\!\bigl(wt - \varphi\bigr).

Resposta

I(t) = C\,e^{-\,\tfrac{R}{L}t} + \frac{E\,R}{L^2 w^2 + R^2}\,\sin(wt) - \frac{E\,L\,w}{L^2 w^2 + R^2}\,\cos(wt)
ou, equivalentemente,
I(t) = C\,e^{-\,\tfrac{R}{L}t} + \frac{E}{\sqrt{R^2 + L^2 w^2}} \,\sin\!\bigl(wt - \arctan\!\tfrac{L\,w}{R}\bigr).

Exercícios relacionados