Nos problemas de 34 a 37, construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluçōes têm o comportamento estipulado quando
. Depois resolva sua equação e confirme que as soluçöes têm, de fato, a propriedade especificada.
Todas as soluçôes se aproximam da curva
quando
t
.
Todas as soluçôes se aproximam da curva
t
Passo 1
O enunciado pede para construir uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções
satisfaçam
O conteúdo necessário é o método do fator integrante para EDOs da forma
Passo 2
Para garantir que
tenda a um valor constante
, escolhemos um coeficiente positivo
e tomamos
Isso é uma EDO linear com equilíbrio
. Para simplificar a conta, basta definir
, obtendo
Passo 3
Aplicando o fator integrante
, multiplicamos a EDO por
e escrevemos
Integrando ambos os lados em relação a
,
Logo a solução geral é
Passo 4
Para
temos
, portanto
confirmando que todas as soluções se aproximam da curva
.
Resposta
A equação diferencial construída é
e sua solução geral
de fato satisfaz
.