Nos problemas de 34 a 37, construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluçōes têm o comportamento estipulado quando t \rightarrow \infty. Depois resolva sua equação e confirme que as soluçöes têm, de fato, a propriedade especificada.
Todas as soluçôes se aproximam da curva y=4-r^{2} quando
t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado pede para construir uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções y(t) satisfaçam
\lim_{t\to\infty}y(t)=4 - r^2.
O conteúdo necessário é o método do fator integrante para EDOs da forma
y' + p(t)\,y = q(t).

Passo 2

Para garantir que y(t) tenda a um valor constante y_e=4 - r^2, escolhemos um coeficiente positivo k e tomamos
y' + k\,y = k\,(4 - r^2).
Isso é uma EDO linear com equilíbrio y_e=(4 - r^2). Para simplificar a conta, basta definir k=1, obtendo
y' + y = 4 - r^2.

Passo 3

Aplicando o fator integrante \mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^t, multiplicamos a EDO por e^t e escrevemos
(e^t y)' = (4 - r^2)\,e^t.
Integrando ambos os lados em relação a t,
e^t y = \int (4 - r^2)\,e^t\,dt + C = (4 - r^2)\,e^t + C.
Logo a solução geral é
y(t) = 4 - r^2 + C\,e^{-t}.

Passo 4

Para t\to\infty temos C\,e^{-t}\to 0, portanto
\lim_{t\to\infty}y(t)=4 - r^2,
confirmando que todas as soluções se aproximam da curva y=4 - r^2.

Resposta

A equação diferencial construída é
y' + y = 4 - r^2
e sua solução geral
y(t) = 4 - r^2 + C\,e^{-t}
de fato satisfaz \lim_{t\to\infty}y(t)=4 - r^2.

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