3- Calcular a pressão necessária na saída de uma bomba centrífuga, para acionar um canhão hidráulico de vazão de 13 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~h}^{-1}, cuja pressão de serviço será 3,0 \mathrm{~atm}. O diâmetro da tubulação entre a bomba e o aspersor será de 50 mm , comprimento da tubulação 150 metros, material do tubo em PVC, altura da haste do tubo de subida 3,0 metros e diferença de nível entre a fonte de água e o aspersor de 15,0 \mathrm{~m} (aclive). Valor (2,0)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (vou listar tudo direitinho):
  • Pedido: calcular a pressão necessária na saída da bomba centrífuga (pressão de descarga, em pressão absoluta não é pedido — vou fornecer a pressão gauge necessária) para acionar um canhão hidráulico que exige uma pressão de serviço de 3,0\\ \mathrm{atm} no ponto do aspersor.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão: Q = 13\\ \mathrm{m^{3}\cdot h^{-1}}.
    • Diâmetro da tubulação: D = 50\\ \mathrm{mm}.
    • Comprimento da tubulação: L = 150\\ \mathrm{m}.
    • Material do tubo: PVC (tubo liso — vou usar uma rugosidade interna típica para PVC).
    • Altura da haste do tubo de subida: 3,0\\ \mathrm{m} (este dado não é necessário separadamente se já foi dada a diferença de nível, mas vou comentar adiante).
    • Diferença de nível entre a fonte de água e o aspersor: \Delta z = 15,0\\ \mathrm{m} (aclive — ou seja, elevação positiva).
    • Valor indicado no enunciado: \,K_{\text{menores}} = 2{,}0 (vou interpretar isto como o somatório dos coeficientes de perdas localizadas, K, igual a 2{,}0).
  • Pressupostos físicos básicos (comuns a este tipo de problema):
    • Densidade da água: \rho = 1000\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
    • Aceleração da gravidade: g = 9{,}81\\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}.
    • Viscosidade cinemática da água (aprox. à temperatura ambiente): \nu = 1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}.
    • Rugosidade interna típica para PVC: \epsilon \approx 1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Estratégia (apenas o que vou calcular, sem desenvolver aqui): transformar vazão e diâmetro em velocidade, calcular perdas por atrito via fórmula de Darcy–Weisbach (preciso do fator de atrito f — usarei a fórmula explícita de Swamee–Jain), calcular perdas localizadas usando K=2{,}0, somar a cabeça correspondente à pressão de serviço, à elevação e às perdas para obter a cabeça total H, e converter essa cabeça em pressão na saída da bomba.

Passo 2

Converter unidades e calcular área e velocidade do escoamento.
  • Converter a vazão para \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}:
Q=\frac{13}{3600}\\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}=0{,}003611\\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}.
  • Diâmetro em metros:
D = 50\\ \mathrm{mm} = 0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção transversal do tubo:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}05)^{2}}{4}=0{,}0019635\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média do fluxo:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}003611}{0{,}0019635}=1{,}839\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Explicação curta: a velocidade é simplesmente a vazão dividida pela área; isso diz quão rápido a água atravessa o tubo.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e decidir o regime (laminar/transição/turbulento).
  • Fórmula do número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{vD}{\nu}.
  • Substituindo os valores:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}839\times 0{,}05}{1{,}00\times10^{-6}}=91\,965\approx9{,}20\times10^{4}.
Interpretação: como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulento. Em regime turbulento, o fator de atrito depende tanto de \mathrm{Re} quanto da rugosidade relativa \epsilon/D.

Passo 4

Escolher a fórmula para o fator de atrito f e explicar por que.
  • Para \mathrm{Re} grande e tubo relativamente liso (PVC), uso a fórmula explícita de Swamee–Jain, que é equivalente à Colebrook mas não exige iteração. A fórmula de Swamee–Jain é:
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
  • Aqui:
    • \epsilon é a rugosidade absoluta do tubo (m);
    • D é o diâmetro interno (m);
    • \mathrm{Re} é o número de Reynolds (adimensional).
      Justificativa simples: a fórmula é adequada para escoamento turbulento em tubos e é prática para cálculo manual/rápido sem iteração.

Passo 5

Calcular o fator de atrito f usando Swamee–Jain.
  • Primeiros termos:
\frac{\epsilon}{3{,}7D}=\frac{1{,}5\times10^{-6}}{3{,}7\times0{,}05}=8{,}108\times10^{-6},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(9{,}1965\times10^{4})^{0{,}9}}=1{,}956\times10^{-4}.
  • Soma dentro do logaritmo:
\frac{\epsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 2{,}037\times10^{-4}.
  • Aplicando Swamee–Jain:
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(2{,}037\times10^{-4}\right)\right]^{-2} =0{,}01834\\ (\text{aprox.}).
Comentário: f\approx0{,}0183 é um valor típico para escoamento turbulento em tubos lisos com essa velocidade.

Passo 6

Calcular a perda de carga por atrito ao longo do comprimento ( h_f) usando Darcy–Weisbach.
  • Fórmula (Darcy–Weisbach):
h_{f} = f\frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g}.
  • Primeiro calcule o termo dinâmico:
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{(1{,}839)^{2}}{2\times9{,}81}=0{,}17257\\ \mathrm{m}.
  • Razão L/D:
\frac{L}{D}=\frac{150}{0{,}05}=3000.
  • Portanto:
h_{f}=0{,}01834\times3000\times0{,}17257=9{,}49\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: a perda ao longo dos 150 m de tubo é cerca de 9{,}49\\ \mathrm{m} de coluna de água.

Passo 7

Calcular as perdas localizadas ( h_{m}) usando o coeficiente K fornecido.
  • Fórmula:
h_{m}=K\frac{v^{2}}{2g}.
  • O enunciado forneceu o valor K=2{,}0 (interpretei o texto “Valor (2,0)” como esse somatório de perdas locais). Assim:
h_{m}=2{,}0\times0{,}17257=0{,}3451\\ \mathrm{m}.
Comentário: perdas localizadas somam pouco comparado às perdas por atrito em um tubo longo, mas devem ser consideradas.

Passo 8

Converter a pressão de serviço desejada no aspersor ( 3{,}0\\ \mathrm{atm}) para cabeça (m de água).
  • Um atmosférico corresponde a:
1\\ \mathrm{atm}=\frac{101\,325\\ \mathrm{Pa}}{\rho g}=\frac{101\,325}{1000\times9{,}81}=10{,}332\\ \mathrm{m\\ de\\ água}.á
  • Logo:
H_{\text{serviço}}=\frac{3{,}0\\ \mathrm{atm}\times101\,325\\ \mathrm{Pa}}{1000\times9{,}81}=3{,}0\times10{,}332=30{,}995\\ \mathrm{m}.ç
Interpretação: para que o aspersor veja 3{,}0\\ \mathrm{atm} (pressão gauge), ele precisa de cerca de 31{,}0\\ \mathrm{m} de coluna de água naquele ponto.

Passo 9

Somar todas as cabeças necessárias para obter a cabeça total requerida H_{\text{total}}.
  • Componentes a somar (cada em metros de coluna de água):
    • Pressão de serviço: H_{\text{serviço}}=30{,}995\\ \mathrm{m}ç.
    • Elevação do nível (diferença de nível): \Delta z = 15{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Perdas por atrito: h_{f}=9{,}49\\ \mathrm{m}.
    • Perdas localizadas: h_{m}=0{,}345\\ \mathrm{m}.
  • Soma:
H_{\text{total}}=30{,}995+15{,}0+9{,}49+0{,}345=55{,}83\\ \mathrm{m}.
Comentário: a cabeça total de \approx55{,}8\\ \mathrm{m} é a altura de coluna de água que a bomba precisa fornecer de modo que, no aspersor, haja os 3{,}0\\ \mathrm{atm} desejados.

Passo 10

Converter a cabeça total em pressão na saída da bomba (pressão gauge) e apresentar em Pa e em atm.
  • Pressão gauge correspondente:
p_{\text{gauge}}=\rho g H_{\text{total}}=1000\times9{,}81\times55{,}83=5{,}4784\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Em atmosferas (gauge):
p_{\text{gauge}}=\frac{5{,}4784\times10^{5}}{101\,325}=5{,}41\\ \mathrm{atm}.
Pequena interpretação final: para que o aspersor receba 3{,}0\\ \mathrm{atm} no bocais, a bomba precisará entregar aproximadamente 5{,}41\\ \mathrm{atm} na sua saída (pressão gauge), porque parte dessa pressão será consumida subindo o nível e vencendo perdas por atrito e locais.

Resposta

H_{\text{total}} = 55{,}83\\ \mathrm{m\\ de\\ água}á
p_{\text{saída (gauge)}} = 5{,}48\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}í
p_{\text{saída (gauge)}} = 5{,}41\\ \mathrm{atm}í

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