Exercício 3.3 Verifique se a função T(t)=50+150 e^{k t} é solução do problema de valor incial
\frac{d T}{d t}=k(T-50), \quad T(0)=200

Passo 1

O enunciado dá a função candidata T(t)=50+150 e^{k t} e o problema de valor inicial:
\frac{dT}{dt}=k(T-50),\qquad T(0)=200.
A tarefa é verificar se a função proposta realmente satisfaz a equação diferencial para todo t e também satisfaz a condição inicial em t=0. As informações relevantes fornecidas são exatamente a expressão de T(t), a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

O que significa “verificar” neste contexto? Significa duas coisas:
  1. Calcular a derivada \dfrac{dT}{dt} da função candidata e ver se ela é igual ao lado direito k(T-50) para todo t.
  2. Avaliar T(0) e ver se o valor é igual a 200.
Antes de calcular, relembre uma regra importante sobre derivadas: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, a derivada de uma constante é 0, e a derivada de e^{k t} em relação a t é k e^{k t} (esta última vem da regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}e^{u(t)} = u'(t)e^{u(t)}; aqui u(t)=k t tem u'(t)=k).

Passo 3

Calcule a derivada \dfrac{dT}{dt} da função candidata. Começando de
T(t)=50+150 e^{k t},
aplica-se a linearidade da derivada e a regra da cadeia:
\frac{dT}{dt} = \frac{d}{dt}(50) + \frac{d}{dt}\bigl(150 e^{k t}\bigr).
A derivada de 50 é 0. Para o segundo termo, o 150 é constante e a derivada de e^{k t} é k e^{k t}. Assim,
\frac{dT}{dt} = 0 + 150\cdot k e^{k t} = 150 k e^{k t}.

Passo 4

Agora calcule o lado direito da equação diferencial substituindo T(t) em k(T-50). Temos
k\bigl(T(t)-50\bigr) = k\bigl(50+150 e^{k t}-50\bigr).
Os termos 50 e -50 se cancelam, restando
k\bigl(T(t)-50\bigr) = k\bigl(150 e^{k t}\bigr) = 150 k e^{k t}.

Passo 5

Compare os resultados dos Passos 3 e 4. Encontramos
\frac{dT}{dt}=150 k e^{k t} \qquad\text{e}\qquad k(T-50)=150 k e^{k t}.
Como as duas expressões coincidem para todo t, a função candidata satisfaz a equação diferencial \dfrac{dT}{dt}=k(T-50).

Passo 6

Verifique agora a condição inicial. Avaliando T em t=0:
T(0)=50+150 e^{k\cdot 0}=50+150 e^{0}=50+150\cdot 1=200.
Portanto a condição inicial T(0)=200 também é satisfeita.

Passo 7

Para consolidar o entendimento: a equação diferencial pode ser resolvida de forma geral e mostra por que a forma proposta é natural. Defina u(t)=T(t)-50. Então du/dt = dT/dt e a equação fica
\frac{du}{dt}=k u.
Esta é uma equação separável (ou uma equação diferencial linear homogênea de 1ª ordem) cuja solução geral é
u(t)=C e^{k t},
onde C é constante. Voltando a T,
T(t)=50+C e^{k t}.
Impondo T(0)=200 obtemos 200=50+C, logo C=150. Assim aparece exatamente T(t)=50+150 e^{k t}, mostrando que a função proposta é a solução única do problema de valor inicial.

Resposta

Sim. T(t)=50+150 e^{k t} satisfaz \dfrac{dT}{dt}=k(T-50) e T(0)=200.

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