Exercício 3.3 Verifique se a função
é solução do problema de valor incial
Passo 1
O enunciado dá a função candidata
e o problema de valor inicial:
A tarefa é verificar se a função proposta realmente satisfaz a equação diferencial para todo
e também satisfaz a condição inicial em
. As informações relevantes fornecidas são exatamente a expressão de
, a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
O que significa “verificar” neste contexto? Significa duas coisas:
- Calcular a derivada
da função candidata e ver se ela é igual ao lado direito para todo . - Avaliar
e ver se o valor é igual a .
Antes de calcular, relembre uma regra importante sobre derivadas: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, a derivada de uma constante é
, e a derivada de
em relação a
é
(esta última vem da regra da cadeia:
; aqui
tem
).
Passo 3
Calcule a derivada
da função candidata. Começando de
aplica-se a linearidade da derivada e a regra da cadeia:
A derivada de
é
. Para o segundo termo, o
é constante e a derivada de
é
. Assim,
Passo 4
Agora calcule o lado direito da equação diferencial substituindo
em
. Temos
Os termos
e
se cancelam, restando
Passo 5
Compare os resultados dos Passos 3 e 4. Encontramos
Como as duas expressões coincidem para todo
, a função candidata satisfaz a equação diferencial
.
Passo 6
Verifique agora a condição inicial. Avaliando
em
:
Portanto a condição inicial
também é satisfeita.
Passo 7
Para consolidar o entendimento: a equação diferencial pode ser resolvida de forma geral e mostra por que a forma proposta é natural. Defina
. Então
e a equação fica
Esta é uma equação separável (ou uma equação diferencial linear homogênea de 1ª ordem) cuja solução geral é
onde
é constante. Voltando a
,
Impondo
obtemos
, logo
. Assim aparece exatamente
, mostrando que a função proposta é a solução única do problema de valor inicial.
Resposta
Sim.
satisfaz
e
.