Calcular a vazão fornecida por uma adutora construída com 3.200 m de tubos PVC ( \mathrm{C}=140 ) com diâmetro de 200 mm . A adutora é alimentada por um reservatório cujo desnível está situado na cota 140 m , descarregando em outro reservatório cujo desnível de água se situa na cota 92 m .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a vazão fornecida por uma adutora. Dados fornecidos:
L = 3200\\ \mathrm{m}
C = 140
\text{diâmetro } D = 200\\ \mathrm{mm} = 0,2\\ \mathrm{m}â
\text{cota do reservatório superior} = 140\\ \mathrm{m}ó
\text{cota do reservatório inferior} = 92\\ \mathrm{m}ó
Portanto o desnível disponível (carga hidráulica útil) é
H = 140 - 92 = 48\\ \mathrm{m}.
A pergunta é: qual é a vazão \,Q (em \mathrm{m^3/s}, e depois em \mathrm{L/s} ou \mathrm{m^3/h}) que a adutora pode fornecer, assumindo que toda a carga é gasta em perdas por atrito (i.e., desprezando perdas localizadas)?

Passo 2

Método escolhido e fórmula a usar: para tubos de água em regime líquido pressurizado costuma-se usar a fórmula de Hazen–Williams para perda de carga por atrito. A forma prática em unidades do Sistema Internacional é:
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}}
onde:
  • h_f é a perda de carga por atrito (m);
  • L é o comprimento da tubulação (m);
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s});
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional);
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m);
  • o expoente 1{,}852 e o fator 10{,}67 são constantes da fórmula em unidades SI (forma empírica).
Explicando de forma bem prática: essa fórmula relaciona quanto “cai” de carga por metro de tubo em função da vazão e do diâmetro — tubos maiores ou com melhor acabamento (maior C) perdem menos carga para a mesma vazão.

Passo 3

Relação entre a carga disponível e a perda por atrito: assumimos que toda a carga disponível H é gasta nas perdas por atrito na tubulação, logo
H = h_f.
Substituindo a fórmula de Hazen–Williams:
H = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}}.
Queremos isolar Q. Reorganizando:
Q^{1{,}852} = \frac{H\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}}{10{,}67\,L}.
Aplicando potência de ordem \dfrac{1}{1{,}852} nos dois lados:
Q = \left(\frac{H\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}}{10{,}67\,L}\right)^{\!\tfrac{1}{1{,}852}}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro convertemos tudo para as unidades usadas na fórmula (já temos):
H = 48\\ \mathrm{m},\quad C = 140,\quad D = 0,2\\ \mathrm{m},\quad L = 3200\\ \mathrm{m}.
Calculemos por partes (vou mostrar aproximações passo a passo, sem pular etapas):
  1. C^{1{,}852}:
C^{1{,}852} = 140^{1{,}852} \approx 9436\\ (\text{aprox.}).
  1. D^{4{,}871}:
D^{4{,}871} = (0,2)^{4{,}871} \approx 0,0003925\\ (\text{aprox.}).
  1. Produto H\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}:
H\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}871} \approx 48 \times 9436 \times 0,0003925 \approx 177{,}8.
  1. Denominador 10{,}67\,L:
10{,}67\,L = 10{,}67 \times 3200 = 34144.
  1. Razão que dá Q^{1{,}852}:
Q^{1{,}852} \approx \frac{177{,}8}{34144} \approx 0{,}005206.
(Se você for fazer isso na prova, pode usar uma calculadora científica para as potências; aqui eu mostrei os valores arredondados usados na sequência.)

Passo 5

Obtemos Q aplicando a potência inversa:
Q = \left(0{,}005206\right)^{\tfrac{1}{1{,}852}}.
O expoente \dfrac{1}{1{,}852} é aproximadamente 0{,}5397. Portanto
Q \approx 0{,}005206^{0{,}5397} \approx 0{,}0587\\ \mathrm{m^3/s}.
Explicando a operação: para desfazer a potência 1{,}852 fazemos a potência inversa. Em prática, na calculadora você pode usar a função potência: digita 0{,}005206^{(1/1{,}852)} e obtém o valor de Q.

Passo 6

Convém apresentar a vazão em unidades usuais:
Q \approx 0{,}0587\\ \mathrm{m^3/s}.
Em litro por segundo:
Q \approx 0{,}0587\times 1000 = 58{,}7\\ \mathrm{L/s}.
Em metros cúbicos por hora:
Q \approx 0{,}0587\times 3600 \approx 211{,}3\\ \mathrm{m^3/h}.
Observações finais rápidas (úteis na prova): estamos assumindo que não há perdas localizadas significativas (entradas, curvas, válvulas) e que o tubo está totalmente cheio (regime pressurizado). Se houver perdas locais, a vazão real será um pouco menor e seria preciso somar essas perdas à perda por atrito antes de igualar a H.
Força aí — você já tem a fórmula pronta e o passo a passo para aplicar a qualquer outro caso similar!

Resposta

Q \approx 0{,}0587\\ \mathrm{m^3/s}
Q \approx 58{,}7\\ \mathrm{L/s}
Q \approx 211{,}3\\ \mathrm{m^3/h}

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