Para uma tubulação de seção circular de 45 cm de diâmetro, calcular:
a) Número de Reynold. Classifique o regime do escoamento.
b) Fato de atrito
c) Perda de carga unitária
Dados:
\mathrm{Q}=52 \mathrm{~L} / \mathrm{s}
v=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
\varepsilon=0,05 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para uma tubulação circular:
a) Calcular o número de Reynolds e classificar o regime do escoamento.
b) Calcular o fator de atrito (f).
c) Calcular a perda de carga unitária (perda de carga por metro).
Dados fornecidos (já convertidos para o SI quando necessário):
\begin{aligned} &\text{Vazão:}\quad Q = 52\\ \mathrm{L/s} = 0{,}052\\ \mathrm{m^3/s},\\[4pt] &\text{Diâmetro:}\quad D = 45\\ \mathrm{cm} = 0{,}45\\ \mathrm{m},\\[4pt] &\text{Viscosidade cinemática:}\quad \nu = 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},\\[4pt] &\text{Rugosidade absoluta:}\quad \varepsilon = 0{,}05\\ \mathrm{mm} = 5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}. \end{aligned}ãâá
Não resolvo nada aqui, apenas organizei o que foi dado e o que se pede. A resolução começa no Passo 2.]

Passo 2

Calcular a área da secção transversal da tubulação para obter a velocidade média. A área de um círculo é
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}45\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi (0{,}45)^{2}}{4} = \pi \cdot 0{,}050625 \approx 0{,}1589956\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicação curta: usamos a fórmula geométrica da área de um círculo. Esse passo é obrigatório porque a velocidade média vem da vazão dividida por essa área.

Passo 3

Calcular a velocidade média \,V pela definição:
V = \frac{Q}{A}.
Substituindo Q=0{,}052\\ \mathrm{m^3/s} e A\approx0{,}1589956\\ \mathrm{m^2}:
V = \frac{0{,}052}{0{,}1589956} \approx 0{,}32697\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}327\\ \mathrm{m/s}.
Observação didática: a velocidade média é o valor que representa o transporte de fluido pela seção; em provas geralmente este é o V usado nas fórmulas de Reynolds e Darcy–Weisbach.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds \,Re. Fórmula e significado:
Re = \frac{V D}{\nu},
onde V é a velocidade média (m/s), D o diâmetro (m) e \nu a viscosidade cinemática (m^2/s). O número de Reynolds indica se o escoamento é laminar, de transição ou turbulento; regras práticas: laminar se Re\lesssim 2300, transição entre \sim 2300 e \sim 4000, turbulento se Re\gtrsim 4000.
Agora substituímos os valores:
Re = \frac{0{,}32697 \times 0{,}45}{1\times 10^{-6}} = \frac{0{,}1471365}{10^{-6}} \approx 147136{,}5 \approx 1{,}47\times 10^{5}.
Conclusão imediata: como Re\approx 1{,}47\times 10^{5}\gg 4000, o escoamento é claramente turbulento.

Passo 5

Escolher método para calcular o fator de atrito f. Contexto e escolha:
  • Para escoamento turbulento em tubos rugosos, o fator de atrito é dado implicitamente pela equação de Colebrook (implícita em f).
  • Em provas é prático usar uma fórmula explícita aproximada que dá precisão suficiente: a fórmula de Swamee–Jain é uma escolha comum e direta. Vou usá-la porque o enunciado não exige método específico e Swamee–Jain é simples de aplicar na prova sem iteração.
A fórmula de Swamee–Jain (válida para escoamento turbulento) é:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{Re^{\,0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Explicação das variáveis: f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), \varepsilon é a rugosidade absoluta (m), D o diâmetro (m) e Re o número de Reynolds (adimensional).
Calcular cada termo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{5\times10^{-5}}{3{,}7\times 0{,}45}=\frac{5\times10^{-5}}{1{,}665}\approx 3{,}003\times10^{-5}.
Calcular \dfrac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}. Primeiro Re^{0{,}9}:
Re^{0{,}9} \approx (1{,}47136\times10^{5})^{0{,}9}\approx 4{,}456\times10^{4}\\ (\text{valor calculado}),
então
\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{4{,}456\times10^{4}} \approx 1{,}289\times10^{-4}.
Somando os termos dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}} \approx 3{,}003\times10^{-5} + 1{,}289\times10^{-4} = 1{,}5893\times10^{-4}.
Agora o logaritmo:
\log_{10}(1{,}5893\times10^{-4}) \approx -3{,}7984.
Aplicando a fórmula:
f = \frac{0{,}25}{(-3{,}7984)^{2}} = \frac{0{,}25}{14{,}430} \approx 0{,}01732.
Arredondando com razoável número de dígitos: f\approx 0{,}0173.
Comentário pedagógico rápido: o fator de atrito estático nessa ordem (0,01–0,02) é típico para tubos com velocidades moderadas e rugosidade pequena. Se fosse pedido, poderíamos iterar Colebrook para maior precisão, mas Swamee–Jain é suficiente para prova.

Passo 6

Calcular a perda de carga unitária (perda de carga por metro) usando a fórmula de Darcy–Weisbach. A perda de carga total em comprimento L é
h_{f} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g}.
A perda de carga unitária (por metro), que é h_{f}/L, fica:
\frac{h_{f}}{L} = f\,\frac{V^{2}}{2gD}.
Explicando variáveis: g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}), V a velocidade média (m/s), D o diâmetro (m) e f o fator de atrito.
Substituindo os valores numéricos:
V^{2} = (0{,}32697)^{2} \approx 0{,}10692\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
2gD = 2\times 9{,}81 \times 0{,}45 = 8{,}829\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
\frac{V^{2}}{2gD} = \frac{0{,}10692}{8{,}829} \approx 0{,}01211\\ \mathrm{m^{-1}}.
Multiplicando por f:
\frac{h_{f}}{L} = 0{,}01732 \times 0{,}01211 \approx 2{,}098\times10^{-4}\\ \mathrm{m/m}.
Arredondando: \dfrac{h_{f}}{L}\approx 2{,}10\times10^{-4}\\ \mathrm{m/m}.
Interpretação prática: isso significa que a cada metro de tubo a perda de carga é cerca de 0{,}00021\\ \mathrm{m} de coluna d’água — muito pequena porque a velocidade é baixa (≈0,33 m/s).

Resposta

a) Re \approx 1{,}47\times10^{5}. Regime: turbulento.
b) f \approx 0{,}0173.
c) \dfrac{h_{f}}{L} \approx 2{,}10\times10^{-4}\\ \mathrm{m/m}.

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